Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Le stesse proprietà valgono per i covarianti ψ R Γ a ψ R . Per i covarianti bilineari misti L-R,si ha inveceψ L Γ a ψ R = ψ P R Γ a P R ψ ={ ψ Γ a PR 2 ψ ≠ 0 (Γa = 11, γ 5 , σ µν ) ,ψ Γ a P L P R ψ = 0 (Γ a = γ µ , γ µ γ 5 ) .. (7.65)e proprietà analoghe per ψ R Γ a ψ L .Si notino in particolare i seguenti risultati:Γ a = 11 : ψ L ψ R ≠ 0 , ψ R ψ L ≠ 0 , ψ L ψ L = ψ R ψ R = 0 ; (7.66)Γ a = γ µ , γ µ γ 5 : ψ L γ µ ψ L ≠ 0 , ψ L γ µ γ 5 ψ L ≠ 0 . (7.67)Ne segue che per particelle descritte da spinori chirali ψ L (per esempio il neutrino) èpossibile scrivere correnti vettoriali ed assiali, mentre l’invariante ψ L ψ L , che viene naturalecollegare con un termine di massa della Lagrangiana, è identicamente nullo.7.7 Spinori di MajoranaPer spinore di Majorana si intende uno spinore a quattro componenti autoconiugato dicarica:ψ M = (ψ M ) c . (7.68)Determiniamo la forma di ψ M . Dato un generico spinore( )χLψ = , (7.69)χ Ril suo coniugato di carica è (con una particolare scelta del fattore di fase)( )σψ c = 2 χ ∗ R−σ 2 χ ∗ . (7.70)LLa condizione ψ = ψ c è quindi equivalente a( ) ( )χL σ= 2 χ ∗ Rχ R −σ 2 χ ∗ , (7.71)Lossiaχ R = −σ 2 χ ∗ L (che implica χ L = σ 2 χ ∗ R ) . (7.72)Quindi uno spinore di Majorana può essere scritto nella forma( )ψ M χL=−σ 2 χ ∗ . (7.73)LÈ chiaro che gli spinori di Majorana, come gli spinori di Weyl, hanno metà gradi di libertàrispetto agli spinori di Dirac.75