Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

con B = γ 0 γ 5 C. Nella rappresentazione chirale si ha( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0 iσB = γ 0 γ 5 20 0 iσ2C =1 0 0 −1 0 −iσ 2 =iσ 2 , (7.55)0( ) ( )0 i˜σ2 0 −iσ2˜B =i˜σ 2 =0 −iσ 2 , (7.56)0ψ ′ (x ′ ) = ˜B ˜ψ(x)( ) ( ) ( )0 −iσ2 χ∗=R −iσ−iσ 2 = 2 χ ∗ L0−iσ 2 χ ∗ . (7.57)RPer inversione temporale l’equazione di Weyl (7.42) assume la formai ⃗σ · ⃗∇ χ ′ L (x′ ) = i ∂∂t ′ χ′ L (x′ ) . (7.58)con∂= − ∂ ∂t ′ ∂t , χ′ L (x′ ) = costante × σ 2 χ ∗ L (x) , (7.59)Perciò, seguendo lo stesso procedimento adottato nel caso dell’operazione CP , si dimostrache l’Eq.(7.58) è equivalente alla (7.42).Le proprietà di invarianza delle equazioni di Weyl per trasformazioni CP e T sonoin accordo con il teorema CP T , che asserisce l’invarianza delle leggi fisiche per latrasformazione CP T .7.6 Covarianti bilineari con spinori chiraliStudiamo le proprietà dei covarianti bilineari con spinori chirali, ossia delle espressionidel tipoψ L,R Γ a ψ L,R , (7.60)dove le matrici Γ a sono le 16 matrici 4 × 4 definite nel Paragrafo 1.2.2.Raggruppiamo le Γ a in 2 classi a seconda delle loro proprietà di commutazione conγ 5 :1) Γ a = 11, γ 5 , σ µν , che hanno le seguenti proprietà di commutazione:2) Γ a = γ µ , γ µ γ 5 , con le seguenti proprietà:χ ∗ L[γ 5 , Γ a ] = 0 , [P L , Γ a ] = [P R , Γ a ] = 0 . (7.61){γ 5 , Γ a } = 0 , P L Γ a = Γ a P R , P R Γ a = Γ a P L . (7.62)Da queste proprietà e da[ ] † 1ψ L =2 (1 + γ 5) ψ γ 0 = ψ † 1 2 (1 + γ 5) γ 0 = ψ 1 2 (1 − γ 5) , (7.63)segue cheψ L Γ a ψ L = ψ P R Γ a P L ψ ={ ψ Γ a P R P L ψ = 0 (Γ a = 11, γ 5 , σ µν ) ,ψ Γ a PL 2 ψ ≠ 0 (Γa = γ µ , γ µ γ 5 ) .(7.64)74