Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

dove S è la superficie che racchiude il volume V e ⃗n S è il versore normale alla superficie S.Quindi la variazione di probabilità nel volume V è uguale al flusso del vettore⃗j attraversola superficie S. Per un volume infinito ∫ ⃗j · ⃗n S S dS = 0; ne segue la conservazione globaledella probabilità, ossia∫dρ dV = 0 , (1.8)dtdove l’integrale è esteso a tutto lo spazio.In analogia a quanto fatto nel caso non-relativistico, un’equazione quantisticarelativistica può essere ottenuta dalla relazione classica relativistica tra energia e impulsoE 2 = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 (1.9)mediante la sostituzione (1.3).In unità naturali ( = c = 1) e con notazioni covarianti 1 si ha che l’espressione (1.9),ossiap µ p µ = m 2 , (1.10)mediante sostituzioneviene trasformata nella relazione operatorialep µ −→ ˆp µ = i ∂ µ (1.11)−∂ µ ∂ µ = m 2 . (1.12)In queste espressioni p µ indica il quadri-vettore energia-impulso p µ = (E,⃗p) e ∂ µ ≡ ∂/∂x µ .Data la proprietà di invarianza dell’operatore ∂ µ ∂ µ + m 2 ≡ □ + m 2 per trasformazioni diLorentz, ne segue che l’equazione(□ + m2 ) ψ = 0 equazione di Klein-Gordon (1.13)è appropriata per la descrizione di particelle scalari (ossia, di spin nullo).Notiamo che l’equazione di Klein-Gordon ammette soluzioni nella forma di onde piane.Infatti, sostituendo nella (1.13) la soluzioneψ p (x) = e −ip·x ≡ e −ipµxµ , (1.14)si ritrova la relazione (1.10), ossia la (1.9). L’equazione agli autovalori per l’operatoreenergia èi ∂ √∂t ψ p(x) = p 0 ψ p (x) = ± ⃗p 2 + m 2 ψ p (x) . (1.15)Siamo quindi in presenza di stati ad energia positiva e di stati ad energia negativa. Questiultimi stati non possono essere eliminati dalla teoria, ma ne costituiscono parte integrante.Nello schema della meccanica quantistica, interazioni con campi esterni possono indurretransizioni della particella (elettrone) tra tutti i livelli energetici.Sottraendo dall’equazione di Klein-Gordon (1.13), moltiplicata per ψ ∗ , la sua complessaconiugata, moltiplicata per ψ, si ottiene l’equazione di continuità scritta in formacovariante∂ µ j µ = 0 , (1.16)1 Vedi Appendici A e B.2