Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

7.3 Equazioni di WeylNella rappresentazione chirale si ha( ) ⃗σ 0⃗Σ = −γ 0 ⃗γ γ 5 =0 ⃗σe quindi l’eq.(7.30) si scrive, (7.33)( ) ( ) ( )i ⃗σ · ∇ ⃗ 0 χL 1 00 i ⃗σ · ⃗∇ = i ∂ ( )χL. (7.34)χ R 0 −1 ∂t χ RDa questa equazione si ottengono le due equazioni disaccoppiatei ⃗σ · ⃗∇ χ L = i ∂ ∂t χ L ,(7.35a)−i ⃗σ · ⃗∇ χ R = i ∂ ∂t χ R . (7.35b)Queste sono le equazioni di Weyl e gli spinori a due componenti χ L e χ R , loro soluzioni,sono detti spinori di Weyl.Sostituendo nelle (7.35)χ L,R (x) = e −ip·x χ L,R (p) , (7.36)si ottiene−⃗σ ·⃗p χ L (p) = p 0 χ L (p) ,⃗σ ·⃗p χ R (p) = p 0 χ R (p) .(7.37a)(7.37b)Queste equazioni implicano chep 2 0 χ L,R (p) = (⃗σ ·⃗p) 2 χ L,R (p) = ⃗p 2 χ L,R (p) , (7.38)da cui segue che p 0 = ±|⃗p|. Quindi (vedi la Fig.7.1a)χ L (p) descrive uno stato ad elicità −1 (sinistrorsa) per p 0 = +|⃗p|,χ L (p) descrive uno stato ad elicità +1 (destrorsa) per p 0 = −|⃗p|,mentre (vedi la Fig.7.1b)χ R (p) descrive uno stato ad elicità +1 (destrorsa) per p 0 = +|⃗p|,χ R (p) descrive uno stato ad elicità −1 (sinistrorsa) per p 0 = −|⃗p|.7.4 Neutrini e antineutriniPer particelle con m ≠ 0 l’elicità non è una grandezza Lorentz–invariante. Infatti, peresempio, mediante una trasformazione di Lorentz che manda ⃗p in −⃗p, si può cambiareil segno dell’elicità della particella. Questa operazione non è possibile per particelle di70