Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Analogamente, si ottiene che il valore medio dell’elicità in uno stato descritto dallospinoreèu R ≡ P R u ≡ 1 − γ52u (7.27)〈 〉 ⃗Σ ·⃗pe= + v e|⃗p e | c . (7.28)RSe vi fosse conservazione della parità nel decadimento β − , l’elettrone sarebbe descrittodallo spinore completo u = u L + u R 〈 ed il valore 〉 medio dell’elicità sarebbe nullo. Dal fatto⃗Σ ·⃗peche sperimentalmente si osserva= − v e(che è uno dei due valori estremi|⃗p e | c±v e /c), si deduce che nel processo in esame non solo si ha violazione di parità, ma ancheche questa violazione è massima.7.2 Proprietà di elicità per m = 0L’equazione di Dirac per m = 0 può essere scritta come(i γ 0 ∂ 0 + i ⃗γ · ⃗∇)ψ = 0 . (7.29)Moltiplicandola a sinistra per γ 5 γ 0 si ha−i γ 5 γ 0 ⃗γ · ⃗∇ ψ = i γ 5 γ 0 γ 0 ∂ 0 ψ ,ossia, utilizzando la definizione Σ ⃗ = −γ 0 ⃗γγ 5 ,i Σ ⃗ · ⃗∇ ψ = γ 5 i ∂ 0 ψ . (7.30)Sostituendosi ottieneψ(x) = e −ip·x u(p) (p 0 = +|⃗p|) , (7.31)− ⃗ Σ ·⃗p|⃗p|} {{ }operatoredielicitàu(p) = γ 5}{{}operatoredichiralitàu(p) . (7.32)Quindi le autofunzioni dell’operatore di chiralità sono anche autofunzioni dell’operatoreelicità, con autovalori di segno opposto per soluzioni ad energia positiva (per soluzioni adenergia negativa, p 0 = −|⃗p|, gli autovalori sono identici).69