Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Per verificare questa proprietà, calcoliamo il valore medio dell’elicità dell’elettrone nellostato descritto dallo spinore u L :〈 〉 ⃗Σ ·⃗pe=|⃗p e |L∑u (r) † ΣL (pe ) ⃗ ·⃗p eu (r)L|⃗p e |(p e)r∑ru (r) †L (pe ) u (r)L (p e)[Calcoliamo il numeratore della (7.22), tenendo conto che ⃗Σ , γ 5]= 0,. (7.22)numeratore = 1 4= 1 2∑r∑r= 1 2 Tr [ ⃗Σ ·⃗pe|⃗p e |= 1 2 Tr [ ⃗Σ ·⃗pe|⃗p e |u (r)† (p e ) ( 1 + γ 5) ⃗ Σ ·⃗pe|⃗p e |u (r)† (p e ) ⃗ Σ ·⃗p e|⃗p e |(1 + γ5 ) u (r) (p e )(1 + γ5 ) u (r) (p e )( ) ]∑1 + γ5u (r) (p e ) u (r)† (p e )r( ) ]1 + γ5 /p e + m eγ 0 .2m e(7.23)Essendo ⃗ Σ = −γ 0 ⃗γγ 5 , per il numeratore della (7.22) si ottienenumeratore = 14 m ep k e|⃗p e | Tr[ Σ k ( 1 + γ 5) (/p e + m e ) γ 0]= 14 m ep k e= − 14 m ep k e|⃗p e |Calcoliamo ora il denominatore della (7.22):|⃗p e | Tr[( −γ k) ( 1 + γ 5) (/p e + m e ) ]⎧⎪⎨⎪⎩ Tr[ ]γ k /p e − Tr [ γ k /p e γ 5]} {{ }4 p k edenominatore = 1 ∑u (r)† (p e ) ( 1 + γ 5) ( 1 + γ 5) u (r) (p e )4r[= 1 (12 Tr ) ]∑+ γ5u (r) (p e ) u (r)† (p e )r⎫⎪⎬} {{ } ⎪⎭ = −|⃗p e|.m e= 1 2 Tr [ (1+ γ5 ) /p e + m e2m eγ 0 ]= 14 m eTr [ /p e γ 0] = E em e.0(7.24)(7.25)Quindi, per il valor medio dell’elicità dell’elettrone si ottiene〈 〉 ⃗Σ ·⃗pe= − |⃗p e|= − v e(in unità ordinarie) . (7.26)|⃗p e | E e cL68