Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Capitolo 1Equazione di Dirac1.1 IntroduzioneNella meccanica quantistica non-relativistica l’equazione di Schrödinger per una particellaliberai ∂ψ∂t = − 2∇2m ⃗ 2 ψ (1.1)può essere ottenuta dalla relazione classica non-relativistica tra energia E ed impulso ⃗pE = ⃗p22 m(1.2)mediante sostituzione delle grandezze classiche E e ⃗p con i corrispondenti operatoridifferenziali, ossiaE −→ Ê = i ∂ ∂t ,⃗p −→ ˆ⃗p = −i ⃗ ∇ .(1.3a)(1.3b)Associata all’equazione di Schrödinger vi è l’equazione di continuità∂ρ∂t + ⃗ ∇ ·⃗j = 0 , (1.4)dove ρ (densità di probabilità) e ⃗j (densità di corrente di probabilità) sono date daρ(t, ⃗x) = |ψ(t, ⃗x)| 2 , (1.5)⃗j(t, ⃗x) = − i ( ) ( ][ψ ∗ ⃗∇ψ − ⃗∇ψ ∗)ψ . (1.6)2 mL’equazione di continuità (1.4) ha un ruolo cruciale nell’interpretazione probabilisticadella meccanica quantistica. Dato un volume V nello spazio, utilizzando il teorema diGauss, si ha∫ ∫dρ dV =dt VV∂ρ∂t dV = − ∫V1∫⃗∇ ·⃗j dV = − ⃗j · ⃗n S dS , (1.7)S