Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

✻+ ♠♠−✛✘✛ + ♠ − ♠ + − ♠✚✙♠−+ ♠ ✲+ ♠❄Figura 6.3: Polarizzazione del vuoto6.2 Coniugazione di caricaSecondo la teoria di Dirac, elettroni e positroni (che hanno massa uguale e carica elettricaopposta) devono soddisfare allo stesso tipo di equazione del moto. Per l’elettrone valel’equazione(i /∂ − e /A − m) ψ(x) = 0 . (6.11)Quindi per il positrone deve valere l’equazione(i /∂ + e /A − m) ψ c (x) = 0 . (6.12)Per determinare la funzione ψ c (x) prendiamo l’equazione aggiunta della (6.11),e trasponiamo,Se introduciamo una matrice C tale cheotteniamo−i ∂ µ ψγ µ − e ψ /A − m ψ = 0 ,−i ˜γ µ ∂ µ˜ψ − e ˜γ µ A µ˜ψ − m ˜ψ = 0 .C ˜γ µ C −1 = −γ µ , (6.13)(i /∂ + e /A − m) C ˜ψ(x) = 0 . (6.14)Confrontando questa equazione con la (6.12) deduciamo che il positrone è descritto dallafunzione d’ondaψ c (x) = η c C ˜ψ(x) , (6.15)dove η c è un fattore di fase (|η c | = 1) costante che dipende dalla natura della particella.Nella rappresentazione di Dirac si ha( ) ( ) ( )0 σC = i γ 2 γ 0 2 1 0 0 σ2= i−σ 2 = −i0 0 −1 σ 2 . (6.16)063