Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

E0−✻+ m c 2 − ✁✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ←Livelli dell’atomodi idrogeno− m c 2 −❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆Figura 5.2: Banda energetica dell’atomo di idrogeno.accoppiamento nel caso dell’atomo di idrogeno. Si può dimostrare che l’hamiltoniana diinterazione è 1 H hf = − 2 3 ⃗µ e · ⃗µ p |ψ n (0)| 2 , (5.72)dove ψ n (0) è la funzione d’onda dell’elettrone nell’origine, ⃗µ e è il momento di dipolomagnetico dell’elettrone (vedi la formula (4.50)) e ⃗µ p è il momento di dipolo magneticodel protone⃗µ p = (1 + a p ) |e| 2 m p c ⃗σ p . (5.73)m p è la massa del protone e a p = 1.79 è il momento anomalo di dipolo magnetico delprotone in unità di magnetoni nucleari; un magnetone nucleare µ N è dato daµ N ≡ |e| 2 m p c = 3.15 × 10−18 MeV gauss −1 . (5.74)Per la funzione d’onda ψ n possiamo utilizzare l’espressione non-relativistica, e quindi|ψ n (0)| 2 =1π a 3 0 n 3 , dove a 0 = 1 αm cè il raggio di Bohr. (5.75)Perciò otteniamoH hf = 2 3 (1 + a p) 1 n 3mm pm c 2 α 4 ⃗σ e · ⃗σ p . (5.76)Tenendo conto che{1 tripletto,⃗σ e · ⃗σ p =−3 singoletto,(5.77)1 Per la dimostrazione di questa formula vedi Sakurai, pag.130.58