Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Notiamo ora che le somme ∑ n a n ρ n , ∑ n b n ρ n , se illimitate, forniscono, per grandi ρ,un comportamento asintotico del tipo e 2ρ . Infatti, per n → ∞, dalle equazioni (5.55) siottienee dalla (5.56)√z2n a n − a n−1 = b n−1 − γ b n ,z 1√z1n b n − b n−1 = a n−1 + γ a n ,z 2b n =Dalle equazioni (5.57) si ricava, per n → ∞,√z1z 2a n .(5.57a)(5.57b)(5.57c)e quindia na n−1= 2 n , (5.58)∑a n ρ n ∼ e 2ρ (ρ → ∞) . (5.59)nAnalogamente, si ottiene anche∑b n ρ n ∼ e 2ρ (ρ → ∞) . (5.60)nSe le somme ∑ n a n ρ n , ∑ n b n ρ n fossero illimitate, i comportamenti asintotici delle funzioniF (ρ), G(ρ) a grandi ρ sarebbero F (ρ) ∼ ρ s e ρ , G(ρ) ∼ ρ s e ρ e quindi non accettabiliper stati legati. Ne segue che le due somme (5.54) si devono interrompere a una certapotenza di ρ. Supponiamo che il primo coefficiente nullo della prima serie sia a n ′ +1:a n ′ ≠ 0 , a n ′ +1 = 0 .Scriviamo le equazioni (5.55) ponendo n = n ′ + 1:− a n ′ =√z2z 1b n ′ − γ b n ′ +1 ,(s + n ′ + 1 + κ) b n ′ +1 − b n ′ =√z1z 2a n ′ .(5.61a)(5.61b)Perchè queste equazioni siano compatibili, occorre che b n ′ +1 = 0 e quindi le due serie siinterrompano allo stesso ordine, con la relazionea n ′ = −√z2z 1b n ′ . (5.62)Sostituendo questa espressione nella (5.56), scritta per n = n ′ , ed eliminando b n ′, si ha2 √ z 1 z 2 (s + n ′ ) = (z 1 − z 2 ) γ . (5.63)54