Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

PonendoF ∼ c ρ s , G ∼ c ′ ρ s′ , (5.49)otteniamo⎧⎨⎩c (s − κ) ρ s−1 = −c ′ γ ρ s′ −1 ,c ′ (s + κ) ρ s′ −1 = c γ ρ s−1 .(5.50)Per esempio, dalla prima di queste espressioni si haρ s−s′ = − c′cγs − κ . (5.51)Il secondo membro non dipende da ρ e quindi deve essere s = s ′ . Dalle (5.50),moltiplicando membro a membro, si ricava inoltres 2 − κ 2 = −γ 2 =⇒ s = ± √ κ 2 − γ 2 . (5.52)I due integrali∫dρ |F (ρ)| 2 ,∫dρ |G(ρ)| 2devono essere convergenti e quindi s > −1/2. Questa condizione è incompatibile con ilsegno negativo nella (5.52), tenendo conto cheκ 2 − γ 2 ≥ 1 − (Z α) 2 .Dobbiamo quindi sceglieres = + √ κ 2 − γ 2 . (5.53)Avendo determinato i comportamenti asintotici delle funzioni F e G a piccole e grandidistanze, cerchiamo delle soluzioni nella formaF (ρ) = ρ s e −ρ ∑ na n ρ n ,G(ρ) = ρ s e −ρ ∑ nb n ρ n . (5.54)Sostituendo nelle equazioni (5.44) ed eguagliando i coefficienti dei termini ρ s e −ρ ρ n−1 , sitrovano le relazioni di ricorrenza√z2(s + n − κ) a n − a n−1 = b n−1 − γ b n ,z 1√z1(s + n + κ) b n − b n−1 = a n−1 + γ a n .z 2(5.55a)(5.55b)Moltiplicando la (5.55a) per z 1 , la (5.55b) per √ z 1 z 2 e sottraendo membro a membro,si ottiene una relazione che coinvolge una sola coppia di coefficienti (a n e b n ):(z 1 (s + n − κ) + √ z 1 z 2 γ) a n − ( √ z 1 z 2 (s + n + κ) − z 1 γ) b n = 0 . (5.56)53