Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

5.4 Soluzione delle equazioni radiali per un atomoidrogenoideUtilizziamo ora il formalismo precedente per ricavare lo spettro energetico di un atomoidrogenoide. In questo caso il potenziale centrale èPoniamoz 1 = m c2 + E cγ =V (r) = − 14 πed introduciamo la variabile adimensionaleZ e 2. (5.41)r, z 2 = m c2 − E c(5.42)Z e24 π c ≡ Z α ,⎪⎩ρ = √ z 1 z 2 r . (5.43)Notiamo che z 1 z 2 = (m c2 ) 2 − E 2( c) 2 ≥ 0, perchè consideriamo stati legati.Le equazioni radiali (5.40) diventano⎧dF⎪⎨ dρ − κ (√ρ F = z2− γ )G ,z 1 ρDalle equazioni (5.44), per ρ → ∞, si ha⎧ √dF⎪⎨ dρ = z2G ,z 1⎪⎩dGdρ + κ (√ρ G = z1+ γ )F .z 2 ρdGdρ = √z1z 2F ,con soluzioni asintotiche (per ρ → ∞)=⇒⎧⎪⎨⎪⎩d 2 Fdρ 2 = F ,,(5.44)d 2 Gdρ 2 = G , (5.45)F (ρ) ∼ ρ m e ±ρ , G(ρ) ∼ ρ m′ e ±ρ , (5.46)per qualunque valore finito di m e di m ′ . Per uno stato legato, occorre scegliereF (ρ) ∼ ρ m e −ρ , G(ρ) ∼ ρ m′ e −ρ . (5.47)Studiamo ora il comportamento delle soluzioni a piccolo ρ. Dalle (5.40), per ρ → 0,si ha⎧⎪ ⎨⎪ ⎩dFdρ − κ ρ F = −γ ρ G ,(5.48)dGdρ + κ ρ G = γ ρ F .52