Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

dove η 1 è un fattore di fase (dal momento che le funzioni Y jlj 3sono normalizzate e ( )⃗σ·⃗r 2r =1). Analogamente, si deve avere⃗σ ·⃗rrY jlχj 3= η 2 Y jlϕj 3. (5.34)Per compatibilità tra le due equazioni (5.33) e (5.34), dev’essere η 1 η 2 = +1. Definendoopportunamente la fase relativa tra le due funzioni Y jlϕj 3e Y jlχj 3, che è arbitraria, possiamoscegliere η 1 = η 2 = −1. Abbiamo quindi⃗σ ·⃗rrY jlχj 3= −Y jlϕj 3,⃗σ ·⃗rrY jlϕj 3= −Y jlχj 3. (5.35)Sostituendo la prima di queste espressioni nella (5.32) otteniamo( df⃗σ ·⃗p ϕ = −dr + 1 − κ )f Y jlχjr3. (5.36)Analogamente si ha( dg⃗σ ·⃗p χ = i dr + 1 + κ )g Y jlϕjr3. (5.37)Usando queste relazioni, le equazioni del moto (5.28) diventano⎧⎪⎨⎪⎩( df− cdr + 1 − κ )f = ( E − V − m c 2) g ,r( dg cdr + 1 + κ )g = ( E − V + m c 2) f .r(5.38)Il problema è stato quindi ricondotto a quello del calcolo delle funzioni d’onda radiali f(r)e g(r), una volta che sia stata precisata la forma funzionale del potenziale V (r). Come sivede, anche nel caso dell’equazione di Dirac, un potenziale centrale consente la separazionenella funzione d’onda tra dipendenza angolare (e di spin) e dipendenza radiale. Unaimportante differenza con il caso dell’equazione di Schrödinger è che adesso abbiamodue equazioni differenziali radiali accoppiate, anzichè una sola equazione. Normalmenteconviene ridefinire le due funzioni radiali come segue:F (r) = r f(r) , G(r) = r g(r) , (5.39)e quindi si ha⎧⎪⎨⎪⎩( dF cdr − κ )r F = − ( E − V − m c 2) G ,( dG cdr + κ )r G = ( E − V + m c 2) F .(5.40)51