Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

conviene innanzi tutto farne una riduzione a spinori a due componenti, ossia scrivere( ) χ(x)ψ(x) = , (5.27)ϕ(x)per ottenere, con passaggi analoghi a quelli del paragrafo 4.5, in rappresentazione di Dirac{ ( )c ⃗σ ·⃗p ϕ(x) = E − V − m c2χ(x) ,c ⃗σ ·⃗p χ(x) = ( E − V + m c 2) (5.28)ϕ(x) .È conveniente scrivere la χ(x) e la ϕ(x) mediante le seguenti fattorizzazioni:{χ = g(r) Y jlχj 3,ϕ = i f(r) Y jlϕj 3,(5.29)dove le funzioni Y jlj 3sono le funzioni ortonormali di angolo-spin (autofunzioni di ⃗ J 2 , J 3 ,2⃗ L , S ⃗ 2 )Y jlj 3= ∑〈l m l s m s |j j 3 〉 Y l,ml χ s,ms . (5.30)m l ,m sQuando sostituiamo le (5.29) nelle (5.28) dobbiamo saper valutare il risultato dell’applicazionedell’operatore ⃗σ ·⃗p sugli spinori χ e ϕ. Riscriviamo allora quest’operatore nelmodo seguente:⃗σ ·⃗p =⃗σ ·⃗rr 2 (⃗σ ·⃗r) (⃗σ ·⃗p) ,(⃗σ ·⃗r) (⃗σ ·⃗p) = ⃗r ·⃗p + i ⃗σ · (⃗r ×⃗p) = −i r ∂ ∂r + i ⃗σ · ⃗L ,(⃗σ ·⃗r⃗σ ·⃗p = −i r ∂ )+ i ⃗σ · ⃗L . (5.31)r 2 ∂rSi ottiene quindi, per esempio,(⃗σ ·⃗r⃗σ ·⃗p ϕ = i − r ∂ r 2 ∂r(⃗σ ·⃗r df= Y jlϕjr 3dr)+ ⃗σ · ⃗L+(1 − κ)r(⃗σ ·⃗rϕ = i − r ∂ )r 2 ∂r − (1 − κ) ϕ)f . (5.32)Notiamo ora che il risultato dell’applicazione dell’operatore ⃗σ ·⃗r (invariante per rotazionedi spazio, ma pseudoscalare per riflessione spaziale) sulla funzione Y jlϕj 3(autofunzionedi ⃗ J 2 , J 3 , ⃗ L 2 con autovalori 2 j(j + 1), j 3 , 2 l ϕ (l ϕ + 1)) dev’essere quello di generareun’autofunzione Y jlj 3di ⃗ J 2 , J 3 , ⃗ L 2 . Gli autovalori di quest’ultima per ⃗ J 2 e J 3 sono glistessi della Y jlϕj 3, mentre il valore di l deve avere una parità opposta a quella di l ϕ , acausa del cambiamento di parità indotto dalla natura pseudoscalare di ⃗σ ·⃗r. Deve quindiessere l = l χ (per una dimostrazione analitica di questa proprietà, si veda l’AppendiceF). Possiamo allora scrivere⃗σ ·⃗rrY jlϕj 3= η 1 Y jlχj 3, (5.33)50