Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Osserviamo ora che χ e ϕ, essendo autofunzioni di ⃗ J 2 e di ⃗σ · ⃗L, sono anche autofunzionidi ⃗ L 2 . Infatti, gli operatori ⃗ J 2 e ⃗ L 2 , quando operano su χ e ϕ, sono legati dalla relazione( ) 22⃗ J = ⃗1 L +2 ⃗σ = ⃗ L 2 + ⃗σ · ⃗L + 3 4 2 ,ossiaDa questa relazione e dalle (5.19) si ricava()2 2⃗ L χ = ⃗ J − ⃗σ · ⃗3 L −4 2= 2 [j (j + 1) + κ + 1 4⃗ L2= ⃗ J2− ⃗σ · ⃗ L −34 2 , (5.20)]χχ =[ 2 j (j + 1) + 2 (1 + κ) − 3 4 2 ]χ≡ 2 l χ (l χ + 1) χ , (5.21)⃗ L2ϕ =(⃗ J2− ⃗σ · ⃗ L −34 2 )= 2 [j (j + 1) − κ + 1 4]ϕϕ =[ 2 j (j + 1) + 2 (1 − κ) − 3 4 2 ]ϕ≡ 2 l ϕ (l ϕ + 1) ϕ . (5.22)Quindi le funzioni d’onda spinoriali a due componenti χ e ϕ sono autofunzioni di ⃗ L 2 ma,a fissi j e κ, hanno due diversi valori di l: l χ ≠ l ϕ . Questo spiega perchè lo spinore aquattro componenti ψ non può essere autofunzione di ⃗ L 2 . Dalle (5.21), (5.22) si trova⎧⎨ l χ (l χ + 1) = j (j + 1) + κ + 1 , 4(5.23)⎩l ϕ (l ϕ + 1) = j (j + 1) − κ + 1 . 4Utilizzando la (5.16) si haκ = +(j + 1 )2=⇒{lχ = j + 1 2 ,l ϕ = j − 1 2 , (5.24)(κ = − j + 1 )2=⇒{lχ = j − 1 2 ,l ϕ = j + 1 2 , (5.25)Da questo risultato si vede in particolare che, a κ fisso, χ e ϕ hanno parità opposta.5.3 Separazione delle variabiliDalle proprietà viste nel paragrafo precedente segue che, per risolvere l’equazione di Diracper stati stazionari nel caso di un potenziale centrale,[c ⃗α ·⃗p + β m c 2 + V (r) ] ψ(x) = E ψ(x) , (5.26)49