Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

e quindiInoltre si haQuindiK 2 = ⃗ L 2 − ⃗ Σ · ⃗L + 2 ⃗ Σ · ⃗L + 2 = ⃗ L 2 + ⃗ Σ · ⃗L + 2 . (5.13)( ) 22⃗ J = ⃗1 L +2 Σ ⃗ = ⃗ L 2 + Σ ⃗ · ⃗L + 3 4 2 . (5.14)K 2 = ⃗ J 2 + 1 4 2 . (5.15)Questa relazione operatoriale comporta la seguente relazione tra autovalori: 2 κ 2 = 2 j (j + 1) + 1 4 2 = 2 (j + 1 2) 2,per cui(κ = ± j + 1 )2. (5.16)5.2 Riduzione a spinori a due componentiNella rappresentazione di Dirac K può essere scritto come( ) ( ) ( )K = β ⃗Σ · ⃗ 11 0 ⃗σ · ⃗ L + 0L + =0 −11 0 ⃗σ · ⃗L + ( )⃗σ · ⃗ L + 0=0 −⃗σ · ⃗L .− (5.17)Dall’equazione agli autovalori Kψ = −κψ, scrivendo(χψ = , (5.18)ϕ)si ha( ( ) ( ⃗σ · ⃗ L + 0 χ χ0 −⃗σ · ⃗L = − κ ,− )ϕϕ)⎧⎨⎩(⃗σ · ⃗L)+ χ = − κ χ ,(⃗σ · ⃗L)+ ϕ = κ ϕ ,{ ⃗σ · ⃗ L χ = − (1 + κ) χ ,⃗σ · ⃗L ϕ = − (1 − κ) ϕ .(5.19)48