Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Poiché Σ k = −γ 0 γ k γ 5 , si ottiene[H, K] = − ∑ kl[γ 0 γ k , γ l γ 5] p k J l + m ∑ } {{ }2g kl γ 0 γ 5l[γ 0 , γ l γ 5] J l − ∑ [α k , β ]} {{ } 2 } {{ }k0−2γ k= 2γ 0 γ 5 ⃗p · ⃗J + ⃗γ ·⃗p . (5.6)Esprimendo ora il momento angolare totale come⃗J = ⃗ L + 2 ⃗ Σ (5.7)p ke tenendo conto che ⃗p · ⃗L = 0, si ottiene[H, K] = γ 0 γ 5 ⃗ Σ ·⃗p + ⃗γ ·⃗p = −(−γ 0 γ 5 γ 0 ⃗γγ 5 + ⃗γ) ·⃗p = 0 . (5.8)K può anche essere scritto comeK = β ⃗ Σ ·( )⃗1 L +2 Σ ⃗ − 1 2 β= β Σ ⃗ · ⃗L + 1 2 β }{{} Σ ⃗ 2 − 1 2 β3( )= β ⃗Σ · ⃗ L + .(5.9)Si ha inoltre che ⃗ J e K commutano tra loro:[⃗J , K]= 0 . (5.10)Quindi per un elettrone in un campo centrale gli operatori H, ⃗ J 2 , J 3 , K ammettono uninsieme comune di autofunzioni che scriviamo come⎧⎪⎨⎪⎩H ψ = E ψ ,⃗ J2ψ = 2 j (j + 1) ψ ,J 3 ψ = j 3 ψ ,K ψ = − κ ψ .(5.11)Esiste una semplice relazione tra K 2 e ⃗ J 2 . Per derivarla cominciamo a calcolare K 2 :( ) ( ) ( ) ( )K 2 = β ⃗Σ · ⃗ L + β ⃗Σ · ⃗ L + = ⃗Σ · ⃗ L + ⃗Σ · ⃗ L + .Dalla relazione ( ) ( )⃗Σ · ⃗a ⃗Σ ·⃗ b = ⃗a ·⃗b + i Σ ⃗ ·(⃗a × ⃗ )b(5.12)discende ( ) ( )⃗Σ · ⃗ L ⃗Σ · ⃗ L = ⃗ L 2 + i Σ ⃗ ( )· ⃗L × ⃗ L = ⃗ L 2 − Σ ⃗ · ⃗L ,} {{ }47i ⃗ L