Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Capitolo 5Elettrone in un campo a simmetriasferica5.1 Costanti del motoConsideriamo l’hamiltonianaH = ⃗α ·⃗p + β m + V (r) , (5.1)relativa ad un elettrone in un generico campo a simmetria sferica.Discutiamo le costanti del moto. Dal momento che sia ⃗ L che Σ ⃗ commutano con V (r),anche in questo caso, come nel moto libero, ⃗ J = ⃗ L + Σ/2 ⃗ è una costante del moto.Cerchiamo ora un’altra costante del moto. In una teoria non relativistica vi sarebbela proiezione dello spin su ⃗ J: ⃗σ · ⃗J. Infatti, ⃗σ · ⃗J può essere riscritto come⃗σ · ⃗J = 1 ()2 2⃗ J − ⃗3 L +4 2 ; (5.2)tutti e due i momenti angolari sono costanti del moto e quindi lo è anche ⃗σ · ⃗J. Lageneralizzazione alla teoria di Dirac di ⃗σ ·⃗J dovrebbe essere Σ·⃗J, ⃗ oppure βΣ·⃗J ⃗ (che ha lostesso limite non-relativistico di Σ ⃗ · ⃗J, ma commutatori più semplici). Si può dimostrareche [H , β Σ ⃗ · ⃗J]= 1 [H , β] , (5.3)2e quindi una costante del moto èK ≡ β ⃗ Σ · ⃗J − 1 2 β . (5.4)Infatti, poichè V (r) è un potenziale centrale, il momento angolare totale ⃗ J è conservato([H, ⃗ J] = 0) e si ha[H, K] = ∑ l[ ] H, βΣlJ l − [H, β]2= ∑ klk[α k , βΣ l] p k J l + m ∑ l[ ] β, βΣlJ l − ∑ [α k , β ] p k . (5.5)246