Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Infatti∫∫d 3 x X † X =( ) ( (v ) )d 3 x χ † 1 + ⃗p22 2χ = 1 + O . (4.61)4 m 2 c 2Moltiplicando la (4.56) a sinistra per Ω −1 e sostituendo χ = Ω −1 X si ottiene[ () ]1Ω −1 2m ⃗σ ·⃗p 1 − E(nr) − e A 0⃗σ ·⃗p + e A 0 Ω −1 X(x) = E (nr) Ω −2 X(x) . (4.62)2 mTenuto conto cheΩ −1 ≃ 1 − ⃗p28 m 2 , (4.63)si ottiene) [ () ] )(1 − ⃗p2 18 m 2 2m ⃗σ ·⃗p 1 − E(nr) − e A 0⃗σ ·⃗p + e A(1 0 − ⃗p2 X(x)2 m8 m 2= E (nr) (1 − ⃗p24 m 2 )[ (1 − ⃗p28 m 2 ) ( (⃗σ ·⃗p) 22 m + e A0 ) (1 − ⃗p28 m 2 )− ⃗σ ·⃗p E(nr) − e A 04 m 2 ⃗σ ·⃗pX(x) ,]X(x)( )= E (nr) 1 − ⃗p2 X(x) ,4 m 2[ ⃗p2{2 m + e A0 − (⃗p2 ) 2 ⃗p2}]8 m − 3 8 m , e 2 A0 − ⃗σ ·⃗p E(nr) − e A 0⃗σ ·⃗p X(x)4 m 2 ( )= E (nr) 1 − ⃗p2 X(x) .4 m 2Se scriviamo E (nr) ⃗p 2 come { E (nr) , ⃗p 2} /2, otteniamo[ ⃗p22 m + e A0 − (⃗p2 ) 28 m + 1 ({⃗p 2 , E (nr) − e A 0} − 2 ⃗σ ·⃗p ( E (nr) − e A 0) ⃗σ ·⃗p )] X(x)3 8 m 2= E (nr) X(x) .(4.64)(4.65)Utilizziamo ora l’identità {A 2 , B} − 2 A B A = [A , [A , B]] per ottenere{⃗p 2 , E (nr) − e A 0} − 2 ⃗σ ·⃗p ( E (nr) − e A 0) ⃗σ ·⃗p = [ ⃗σ ·⃗p , [ ⃗σ ·⃗p , E (nr) − e A 0]]= [ ⃗σ ·⃗p , [ ⃗σ ·⃗p , −e A 0]] .(4.66)Abbiamo inoltre[ ] ⃗σ ·⃗p , −e A0= − i e ⃗σ · ⃗E ,[⃗σ ·⃗p , ⃗σ · ⃗E]= σ j σ [ k p j , E k] + [ σ j , σ k] E k p j= ( δ jk + i ɛ jkl σ l) [ p j , E k] + 2 i ɛ jkl σ l E k p j= − i ∇ ⃗ · ⃗E( )− 2 i ⃗σ · ⃗E ×⃗p .43