Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Da[π j , π k] = [ p j − eA j , p k − eA k] = − e [ A j , p k] − e [ p j , A k]( )∂Aj= − i e∂x − ∂Akk ∂x j(4.44)otteniamo(⃗σ · ⃗π) 2 = ⃗π 2 + 1 ( )∂A2 e ɛjkl σ l j∂x − ∂Akk ∂x( )j= ⃗π 2 − e ⃗σ · ⃗∇ × A ⃗(= ⃗p − e A) ⃗ 2− e ⃗σ · B ⃗ . (4.45)L’equazione (4.41) diventa[ 1(⃗p − e A2 m⃗ ) ]2 e −2 m ⃗σ · ⃗B + e A 0 χ(x) = E (nr) χ(x) . (4.46)(I termini e A 0 1e ⃗p − e ⃗ 2A)2 msono quelli che vengono comunemente trovati in teoriaquantistica non-relativistica per l’elettrone in interazione con un campo elettromagnetico,quando nell’equazione di Schrödinger si effettua la sostituzione di accoppiamento minimoIl termine− e ⃗σ · ⃗B2 mp µ −→ p µ − e A µ . (4.47)(− e )2 m c ⃗σ · ⃗B in unità ordinarie(4.48)descrive l’interazione della particella con il campo magnetico esterno tramite l’operatoredi spin. Se riscriviamo il termine (4.48) come−⃗µ · ⃗B , (4.49)possiamo identificare l’operatore ⃗µ (momento magnetico dell’elettrone) come⃗µ ≡ e ( )2 m c ⃗σ ≡ 2 e 12 m c 2 ⃗σ e= g ⃗s , (4.50)2 m ccon⃗s = 1 ⃗σ ,2spin , (4.51)g = 2 , rapporto giromagnetico . (4.52)L’unità di misura del momento magnetico è il magnetone di Bohr µ B dato daµ B ≡ |e| 2 m c = 0.579 × 10−14 MeV gauss −1 . (4.53)41