Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

e quindi, scrivendoψ(x) =nella rappresentazione di Dirac si ottiene( ) ( 0 ⃗σ· ⃗p − e A⃗σ 0⃗ ) ( ) [χ(x) (E=) ( )− e A0 11 0ϕ(x)0 11ossia⎧⎨⎩( )χ(x), (4.33)ϕ(x)(11 0− m0 −11(⃗σ · ⃗p − e A ⃗ )ϕ(x) = ( E − e A 0 − m ) χ(x) ,(⃗σ · ⃗p − e A ⃗ )χ(x) = ( E − e A 0 + m ) ϕ(x) .)] ( )χ(x), (4.34)ϕ(x)(4.35)Dalla seconda di queste equazioni, ponendo ⃗π ≡ ⃗p − e A, ⃗ si ottiene1(ϕ(x) =E − e A 0 + m ⃗σ · ⃗p − e A ⃗ )1χ(x) ≡⃗σ · ⃗π χ(x) . (4.36)E − e A 0 + mSostituendo nella prima si ottiene l’equazione per χ(x):⃗σ · ⃗π1E − e A 0 + m ⃗σ · ⃗π χ(x) = ( E − e A 0 − m ) χ(x) . (4.37)Studiamo ora il caso di un elettrone in regime non-relativistico (v/c ≪ 1) in unaregione spaziale in cui valga la condizione E ≃ m, la quale implica in particolare che∣ e A0 ∣ ∣ ≪ m . (4.38)PoniamoE (nr) ≡ E − m ≪ m , (4.39)ed approssimiamo la frazione dell’eq.(4.37) nel modo seguente1E − e A 0 + m = 12 m + E (nr) − e A 0= 12 m(1 − E(nr) − e A 0All’ordine zero in (E (nr) − eA 0 )/2m la (4.37) diventa2 m)+ . . . .(4.40)12 m (⃗σ · ⃗π)2 χ(x) = ( E (nr) − e A 0) χ(x) . (4.41)Valutiamo (⃗σ · ⃗π) 2 tenendo conto che per le matrici di Pauli si ha[σ j , σ k] = 2 i ɛ jkl σ l{σ j , σ k} = 2δ jk 11=⇒ σ j σ k = δ jk 11 + i ɛ jkl σ l . (4.42)Segue quindi che(⃗σ · ⃗π) 2 = σ j σ k π j π k = ( δ jk + i ɛ jkl σ l) π j π k= ⃗π 2 + 1 2 i ɛjkl σ l [ π j , π k] . (4.43)40