Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

a sinistra per γ 0 , otteniamo(i∂ 0 − ⃗α ·⃗p − e A 0 + e ⃗α · ⃗A)− β m ψ(x) = 0 . (4.23)In forma hamiltoniana si ha quindiconi ∂ψ∂t = (H 0 + H int ) ψ , (4.24)H 0 = ⃗α ·⃗p + β m , (4.25)H int = e A 0 − e ⃗α · ⃗A . (4.26)Ricordiamo che classicamente l’hamiltoniana di interazione è data da e A 0 −e ⃗v· ⃗A. Quindil’operatore ⃗α risulta essere il corrispettivo del vettore classico velocità ⃗v.Calcoliamo le derivate temporali di ⃗r e ⃗π = ⃗p − e ⃗ A:Utilizzando la formulasi ottiened⃗r= i [H , ⃗r] = i [⃗α ·⃗p , ⃗r] = ⃗α , (4.27)dtd⃗πdt = i [H , ⃗π] − e ∂ A ⃗∂t[= i ⃗α ·⃗p + e A 0 − e ⃗α · ⃗A , ⃗p − e A ⃗ ]− e ∂ A ⃗∂t{ [= i −e ⃗α ·⃗p , A ⃗ ][+ e [A 0 , ⃗p] − e ⃗α · ⃗A]}, ⃗p − e ∂ A ⃗∂t . (4.28)[f (⃗r) , ⃗p] = i ⃗ ∇f , (4.29)[A 0 , ⃗p] = i ∇A ⃗ 0 ,[⃗α ·⃗p , A ⃗ ] [+ ⃗α · ⃗A] ( ), ⃗p = i ⃗α × ⃗∇ × A ⃗,(4.30)per cuid⃗π( )dt = e ⃗α × ⃗∇ × A ⃗ − e ∇A ⃗ 0 − e ∂ A ⃗∂t = e ⃗α × B ⃗ + e E ⃗ . (4.31)Il secondo membro di questa equazione rappresenta la forza di Lorentz.4.5 Interazione elettromagnetica nel limite nonrelativisticoPer stati stazionari l’equazione (4.24) diventa[ (⃗α · ⃗p − e A ⃗ ) ]+ β m + e A 0 ψ = E ψ (4.32)39