Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

è soluzione della stessa equazione, se α è una costante. La trasformazione (4.14) vienedetta trasformazione di gauge globale della ψ(x). Nell’ambito di una teoria Lagrangianadi campo si dimostra che l’invarianza per trasformazione di gauge globale di ψ comporta,in base al teorema di Noether, la conservazione della corrente j µ = ψγ µ ψ.Invece l’equazione di Dirac libera non è invariante per la trasformazione di gaugelocaleψ(x) −→ ψ ′ (x) = e iα(x) ψ(x) . (4.15)Infatti, per questa trasformazione di gauge locale∂ µ ψ(x) −→ ∂ µ(e iα(x) ψ(x) ) = ie iα(x) ψ(x) ∂ µ α(x) + e iα(x) ∂ µ ψ(x) , (4.16)e l’equazione di Dirac libera diventa[iγ µ ∂ µ − γ µ ∂ µ α(x) − m] ψ(x) = 0 . (4.17)Invece, l’equazione (4.13) con l’accoppiamento γ µ A µ è invariante per trasformazioni digauge locali se il quadri-potenziale A µ si trasforma come nella (4.4), con ϕ(x) = −α(x)/e:A µ −→ A ′ µ = A µ − 1 e ∂ µα(x) . (4.18)In tal caso, la trasformazione di gauge su ψ(x) e quella su A µ (x) si compensano in mododa garantire l’invarianza dell’equazione di Dirac (4.13).Notare che questa proprietà dipende in modo cruciale dalla prescrizione di accoppiamentominimo, che, come si è visto, consiste nel sostituire la derivata ∂ µ con la cosiddettaderivata covariante D µD µ = ∂ µ + ieA µ . (4.19)Per trasformazioni di gaugeψ(x) −→ e iα(x) ψ(x) ,A µ (x) −→ A µ (x) − 1 e ∂ µα(x) ,(4.20)abbiamo cheD µ ψ(x) −→ e iα(x) D µ ψ(x) . (4.21)La proprietà di invarianza di gauge gioca un ruolo importante non solo nell’ambitodell’elettrodinamica quantistica, ma (in versione generalizzata) nelle moderne teoriedell’interazione elettrodebole e della cromodinamica quantistica.4.4 Hamiltoniana di interazione elettrone–campoelettromagneticoIn questo e nei paragrafi successivi passiamo ad esaminare in dettaglio alcuni dei terminicaratteristici di accoppiamento dell’elettrone con il campo elettromagnetico.Se moltiplichiamo la (4.13)(iγ 0 ∂ 0 + iγ k ∂ k − e γ 0 A 0 + e ⃗γ · ⃗A)− m ψ(x) = 0 (4.22)38