Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Capitolo 4Interazione elettrone–campoelettromagnetico4.1 Qualche richiamo sul campo elettromagneticoIl campo elettrico ⃗ E e il campo magnetico ⃗ B possono essere espressi mediante il quadripotenzialeA µ nel modo seguente⃗E = − ∂ A ⃗∂t − ∇A ⃗ 0 ,⃗B = ∇ ⃗ × A ⃗ .Il tensore (antisimmetrico) del campo elettromagnetico F µν è definito come(4.1a)(4.1b)e quindiF µν ≡ ∂ µ A ν − ∂ ν A µ , (4.2)⎛⎞0 −E 1 −E 2 −E 3F µν = ⎜E 1 0 −B 3 B 2⎟⎝E 2 B 3 0 −B 1 ⎠ . (4.3)E 3 −B 2 B 1 0Il quadri-potenziale A µ non è unicamente definito a partire dai campi elettrico E ⃗e magnetico B ⃗ (ossia da F µν ); esso è definito solo a meno del quadri-gradiente di unafunzione arbitraria. Infatti, F µν resta invariante per la trasformazioneA µ (x) → A µ (x) + ∂ µ ϕ(x) . (4.4)Questa trasformazione è chiamata trasformazione di gauge su A µ (x).Le equazioni di Maxwell si possono scrivere in forma quadri-vettoriale:⃗∇ · ⃗E⎫= ρ , ⎬⃗∇ × B ⃗ − ∂ E ⃗∂t = =⇒ ∂ µ F µν = j ν , (4.5a)⃗j , ⎭⃗∇ · ⃗B⎫= 0 , ⎬⃗∇ × E ⃗ + ∂ B ⃗∂t = 0 , =⇒ ∂ ρ F µν + ∂ µ F νρ + ∂ ν F ρµ = 0 . (4.5b)⎭36