Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

◮ Momento angolare di spin ⃗ Σ/2L’evoluzione temporale di Σ j è data dadΣ jdtdove si è tenuto conto che= i [ ⃗α ·⃗p + β m , Σ j] = i [ ⃗α ·⃗p , Σ j] , (3.17)[β , Σ ⃗ ]= 0. Per il calcolo del commutatore [⃗α ·⃗p , Σ j ] è utileusare la proprietà ⃗ Σ = −⃗α γ 5 e le proprietà di anticommutazione (3.11):i [ α k p k , Σ j] = i p k [ −Σ k γ 5 , Σ j] = −i p k [ Σ k , Σ j] γ 5 = 2 p k ɛ kjl Σ l γ 5= − 2 ɛ kjl p k α l = −2 (⃗α ×⃗p) j .(3.18)Quindi si had ⃗ Σdt= −2 ⃗α ×⃗p (3.19)e ne segue che neppure l’operatore ⃗ Σ è una costante del moto.Se però consideriamo l’operatore ⃗ Σ ·⃗p, tenendo conto che [H , ⃗p] = 0, troviamod( ) [⃗Σ ·⃗p = i H , Σdt⃗ ] [·⃗p = i H , Σ ⃗ ]·⃗p . (3.20)[Ma, per la dimostrazione precedente, H , Σ ⃗ ]= 2 i ⃗α ×⃗p e quindid( )⃗Σ ·⃗p = 0 . (3.21)dtOssia l’operatore elicitàè una costante del moto.ŝ ≡ ⃗ Σ ·⃗p|⃗p|(3.22)◮Momento angolare totale ⃗ JDalle equazioni (3.16) e (3.19) si ottiene infined ⃗ Jdt = d (⃗L + 1 )Σdt 2 ⃗ = 0 , (3.23)ossia il momento angolare totale ⃗ J è una costante del moto.35