Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Per verificare la (3.11) si può procedere nel modo seguente: per j≠k si ha[Σ j , Σ k] = [ γ 0 γ j γ 5 , γ 0 γ k γ 5] = − [ γ j , γ k] = −2 γ j γ k .Moltiplicando la definizione (1.94) delle matrici Σ jper ɛ jkl e sommando su j si ottieneɛ jkl Σ j = i 2 ɛjkl ɛ jmn γ m γ n = i 2per cuiΣ j = 1 2 ɛjmn σ mn = i 2 ɛjmn γ m γ n ,(δ km δ ln − δ kn δ lm) γ m γ n = i 2γ j γ k = −i ɛ jkl Σ le si ottiene la regola di commutazione (3.11).(γ k γ l − γ l γ k) = i γ k γ l ,3.2 Conservazione del momento angolare totaleVogliamo ora determinare quali siano le leggi di conservazione dei momenti angolari inteoria di Dirac.Ricordiamo che in rappresentazione di Heisenberg un generico operatore Ω (H) soddisfaall’equazionedΩ (H)dt= i [ H , Ω (H)] + ∂Ω(H)∂t. (3.12)Ω (H) è deducibile dall’operatore indipendente dal tempo Ω (S) in rappresentazione diSchrödinger mediante la relazioneΩ (H) (t) = e i H t Ω (S) e −i H t . (3.13)Come abbiamo visto nel Capitolo 1, in teoria di Dirac l’Hamiltoniana libera èH = ⃗α ·⃗p + β m . (3.14)◮Momento angolare orbitale ⃗ LL’evoluzione temporale di L j è data dadL jdt= i [ H , L j] = i [ ⃗α ·⃗p , L j] = i α k [ p k , L j]= ɛ jkl α k p l = (⃗α ×⃗p) j ,(3.15)per cuid ⃗ Ldt= ⃗α ×⃗p . (3.16)Quindi, a differenza di quanto avviene nella teoria di Schrödinger, per una particella diDirac libera ⃗ L non è una costante del moto.34