Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

si ottiene⃗ J = ⃗ L +12 ⃗ Σ . (3.6)L’operatore momento angolare orbitale ⃗ L trasforma la parte spaziale della ψ, mentrel’operatore ⃗ Σ/2 agisce sulle variabili di spin.L’operatore ⃗ Σ/2 deve quindi essere interpretato come operatore di spin per particelledi spin 1/2 ed è una generalizzazione dell’operatore di Pauli ⃗σ/2. In unità ordinarie⃗ J = ⃗ L +12 ⃗ Σ . (3.7)◮ Autovalori di Σ 3Nella rappresentazione di Dirac la matrice Σ ⃗ è data da( ) ⃗σ 0 ⃗Σ =0 ⃗σe quindi, nel sistema di riposo della particella, abbiamo⎧ ( )(1)( ) ( ) ( ) χσΣ 3 u (r) 3 (r)0 χ(m,⃗0) =0 σ 3 + (0) σ=3 χ (r)+ (0) ⎪⎨,+ (0)= (0)(2)00 ⎪⎩ −χ + (0).0⎧ ( ) 0( ) ( ) ( )σΣ 3 v (r) 30 00⎪⎨ϕ (1) ,(m,⃗0) =0 σ 3 ϕ (r) =− (0) σ 3 ϕ (r)− (0)= ( )− (0)0 ⎪⎩−ϕ (2) .− (0)(3.8)(3.9a)(3.9b)PerciòΣ 3 u (1) (m,⃗0) = +u (1) (m,⃗0)Σ 3 u (2) (m,⃗0) = −u (2) (m,⃗0)Σ 3 v (1) (m,⃗0) = +v (1) (m,⃗0)Σ 3 v (2) (m,⃗0) = −v (2) (m,⃗0)(3.10a)(3.10b)(3.10c)(3.10d)Quindi le quattro funzioni ortonormali u (r) (m,⃗0) e v (r) (m,⃗0), con r = 1, 2, sonoautofunzioni dell’operatore energia i∂/∂t e dell’operatore Σ 3 (con autovalori ±p 0 perl’energia, ±1/2 per la proiezione di spin).◮Commutatori dell’operatore di spinDimostriamo che le componenti di ⃗ Σ soddisfano le proprietà generali di commutazionedei momenti angolari[Σ j , Σ k] = 2 i ɛ jkl Σ l , (3.11)33