Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Capitolo 3Operatori momenti angolari in teoriadi Dirac3.1 Operatore di spinRiprendiamo in considerazione la trasformazione dello spinore ψ(x) per una rotazioneinfinitesima di un angolo θ attorno all’asse x 3 :⎧⎪⎨⎪⎩x ′0 = x 0x ′1 = x 1 + θ x 2x ′2 = −θ x 1 + x 2x ′3 = x 3 =⇒⎧⎪⎨⎪⎩δx 0 = 0δx 1 = θ x 2δx 2 = −θ x 1δx 3 = 0(3.1)Combinando la legge di trasformazione per una rotazione infinitesima di un angolo θattorno all’asse x 3 (vedi la (1.96))ψ ′ (x ′ ) =(11 + i )2 θ Σ3 ψ(x) (3.2)con lo sviluppo della ψ ′ (x ′ ) in serie di Taylor (al prim’ordine in θ)ψ ′ (x ′ ) = ψ ′ (x) + δx 1 ∂ψ′ (x)+ δx 2 ∂ψ′ (x)( ∂x 1 ∂x )2= ψ ′ (x) + θ x 2 ∂∂x − ∂1 x1 ψ(x)∂x 2= ψ ′ (x) − i θ L 3 ψ(x) ,(3.3)si ottieneψ ′ (x) =(11 + i 2 θ Σ3 + i θ L 3 )ψ(x) , (3.4)dove L 3 è la terza componente del momento angolare orbitale L ⃗ = ⃗r × ⃗p = −i⃗r × ∇ ⃗(ricordiamo che stiamo utilizzando unità naturali). Identificando questa formula conl’espressione generale che fornisce la trasformazione della forma funzionale della ψ(x) perrotazioniψ ′ (x) = ( 1 + i θ J 3) ψ(x) , (3.5)32