Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

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Tenendo conto delle relazionisi ottiene(/p + m) γ 0 (/p + m) = (/p + m) ( γ 0 p 0 − γ k p k + m ) γ 0= (/p + m) ( −/p + m + 2 γ 0 p 0)γ0= 2 E (/p + m) , (2.80)(/p + m) (/p + m) = (/p + m) (/p − m + 2 m)(/p + m) 1 + γ02Per la Λ + (⃗p) vale inoltre la relazione(Λ + (⃗p)) † = /p† + m2 mAnalogamente, per il proiettore Λ − (⃗p) si ottieneIl proiettore Λ − (⃗p) soddisfa alla relazioneInoltre, si ha= 2 m (/p + m) , (2.81)(/p + m) = (E + m) (/p + m) , (2.82)Λ + (⃗p) = /p + m2 m . (2.83)= γ0/p + m2 m γ0 = γ 0 Λ + (⃗p) γ 0 . (2.84)Λ − (⃗p) = −/p + m2 m . (2.85)(Λ − (⃗p)) † = γ 0 Λ − (⃗p) γ 0 . (2.86)Λ + (⃗p) + Λ − (⃗p) = 11 , (2.87)Λ + (⃗p) Λ − (⃗p) = Λ − (⃗p) Λ + (⃗p) = 0 . (2.88)L’utilità dei proiettori Λ ± deriva dal fatto che l’ampiezza di un processo nel qualeinterviene una particella di spin 1/2 ha la formaM = u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) , (2.89)dove Ω è una matrice 4 × 4 che in generale può essere scritta come combinazione linearedi matrici Γ, e quindi come combinazione lineare di prodotti di matrici γ. La probabilitàdi transizione del processo è proporzionale al modulo quadro di M. Per calcolare |M| 2 =MM ∗ , osserviamo innanzi tutto che[] ∗ [] ∗M ∗ = u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) = u (r)† (p f ) γ 0 Ω u (s) (p i )= u (s)† (p i ) Ω † γ 0† u (r) (p f ) = u (s) (p i ) ( γ 0 Ω † γ 0) u (r) (p f )= u (s) (p i ) Ω ′ u (r) (p f ) , (2.90)30
cone quindiΩ ′ = γ 0 Ω † γ 0 ,|M| 2 = u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) u (s) (p i ) Ω ′ u (r) (p f ) = u (s) (p i ) Ω ′ u (r) (p f ) u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) .(2.91)Se non si è interessati allo spin dello stato finale (cioè lo spin dello stato finale non vienemisurato), si deve sommare sugli stati finali di polarizzazione r:( )∑∑|M| 2 = u (s) (p i ) Ω ′ u (r) (p f ) u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) = u (s) (p i ) Ω ′ Λ + (p f ) Ω u (s) (p i ) ,r=1,2r=1,2(2.92)dove Λ + (p) è il proiettore sugli stati a energia positivaΛ + (p) ≡ ∑u (r) (p) u (r) (p) = /p + m2m . (2.93)r=1,2Se lo stato iniziale non è polarizzato, si deve mediare sugli stati iniziali di polarizzaziones:1 ∑|M| 2 = 1 ∑ 4∑ ( )(u22(s) (p i ) (Ω ′ Λ + (p f ) Ω) αβ u (s) (p i ) )αβr,s=1,2= 1 2= 1 2= 1 2s=1,2 αβ=14∑∑αβ=1 s=1,2(u (s) (p i ) ) ( )u (s) (pβ i ) (Ω ′ Λ + (p f ) Ω) αβα4∑(Λ + (p i )) βα(Ω ′ Λ + (p f ) Ω) αβαβ=14∑(Λ + (p i ) Ω ′ Λ + (p f ) Ω) βββ=1= 1 2 Tr[Λ +(p i ) Ω ′ Λ + (p f ) Ω] , (2.94)dove α e β sono indici di Dirac. Quest’ultima formula consente di ricondurre la valutazionedella somma e media di |M| 2 ad un calcolo di tracce di prodotti di matrici γ.Analogamente, l’ampiezza di un processo nel quale interviene una antiparticella dispin 1/2 ha la formaM = v (s) (p i ) Ω v (r) (p f ) , (2.95)per cui la corrispondente probabilità di transizione nel caso in cui lo stato iniziale non èpolarizzato e lo spin dello stato finale non viene misurato è proporzionale a1 ∑|M| 2 = 1 22 Tr[Λ −(p f ) Ω ′ Λ − (p i ) Ω] , (2.96)r,s=1,2dove Λ − (p) è il proiettore sugli stati a energia negativaΛ − (p) ≡ ∑v (r) (p) v (r) (p) = −/p + m2m . (2.97)r=1,231
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Quindi, la probabilità di transizi
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Appendice AUnità naturaliIn unità
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Perciòg µν = g µν =⎛⎜⎝1
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InfattiTr ( (γ µ ) 2 γ 5) = −T
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Analogamente, utilizzando la (D.4)
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Notare cheS † C = ˜S C = S −1C
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4) Γ a = γ µ γ 5 .ψ ′ (x ′
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Poichè ϕ è un’autofunzione del
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perchè δϕ α = 0 sull’iper-sup
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Appendice HRappresentazione integra
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Appendice ICalcolo di sezioni d’u
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