Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Tenendo conto delle relazionisi ottiene(/p + m) γ 0 (/p + m) = (/p + m) ( γ 0 p 0 − γ k p k + m ) γ 0= (/p + m) ( −/p + m + 2 γ 0 p 0)γ0= 2 E (/p + m) , (2.80)(/p + m) (/p + m) = (/p + m) (/p − m + 2 m)(/p + m) 1 + γ02Per la Λ + (⃗p) vale inoltre la relazione(Λ + (⃗p)) † = /p† + m2 mAnalogamente, per il proiettore Λ − (⃗p) si ottieneIl proiettore Λ − (⃗p) soddisfa alla relazioneInoltre, si ha= 2 m (/p + m) , (2.81)(/p + m) = (E + m) (/p + m) , (2.82)Λ + (⃗p) = /p + m2 m . (2.83)= γ0/p + m2 m γ0 = γ 0 Λ + (⃗p) γ 0 . (2.84)Λ − (⃗p) = −/p + m2 m . (2.85)(Λ − (⃗p)) † = γ 0 Λ − (⃗p) γ 0 . (2.86)Λ + (⃗p) + Λ − (⃗p) = 11 , (2.87)Λ + (⃗p) Λ − (⃗p) = Λ − (⃗p) Λ + (⃗p) = 0 . (2.88)L’utilità dei proiettori Λ ± deriva dal fatto che l’ampiezza di un processo nel qualeinterviene una particella di spin 1/2 ha la formaM = u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) , (2.89)dove Ω è una matrice 4 × 4 che in generale può essere scritta come combinazione linearedi matrici Γ, e quindi come combinazione lineare di prodotti di matrici γ. La probabilitàdi transizione del processo è proporzionale al modulo quadro di M. Per calcolare |M| 2 =MM ∗ , osserviamo innanzi tutto che[] ∗ [] ∗M ∗ = u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) = u (r)† (p f ) γ 0 Ω u (s) (p i )= u (s)† (p i ) Ω † γ 0† u (r) (p f ) = u (s) (p i ) ( γ 0 Ω † γ 0) u (r) (p f )= u (s) (p i ) Ω ′ u (r) (p f ) , (2.90)30