Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

eΛ + (⃗p) soddisfa anche la proprietà di idempotenzacaratteristica degli operatori di proiezione. Infatti,∑ ∑u (r)α (⃗p) u(r) ρ (⃗p) ∑ u ρ(s) (⃗p) u(s)β(⃗p) = ∑ρ r=1,2s=1,2r,sΛ + (⃗p) v (s) (⃗p) = 0 . (2.68)(Λ + (⃗p)) 2 = Λ + (⃗p) (2.69)= ∑r=1,2u (r)α (⃗p) ∑ ρu (r)α (⃗p) u(r)u (r)ρ(⃗p) u (s) (⃗p)ρu (s)β(⃗p)} {{ }δ rs(2.70)β (⃗p) .Analogamente, definiamo come proiettore sugli stati ad energia negativa la matriceΛ − (⃗p) ≡ − ∑v (r) (⃗p) v (r) (⃗p) , (2.71)r=1,2con le proprietà∑β(Λ − (⃗p)) αβv (s)β(⃗p) = v(s) (⃗p) , (2.72)αΛ − (⃗p) u (s) (⃗p) = 0 , (2.73)(Λ − (⃗p)) 2 = Λ − (⃗p) . (2.74)Un’espressione per Λ + (⃗p) utile nelle applicazioni può essere ottenuta dalla formulaΛ + (⃗p) =12 m (E + m)∑(/p + m) u (r) (0) u (r) (0) (/p + m) , (2.75)r=1,2} {{ }Λ + (0)ricavabile dalla definizione (2.65) e dalle formule (2.30). Λ + (0) può essere determinatotenendo presente che dalle equazioni (2.7) e (2.6) discende(γ 0 − 11 ) Λ + (0) = 0 , (2.76a)Λ + (0) ( γ 0 − 11 ) = 0 .(2.76b)Dalle (2.76) e dalla proprietàsi trova che(Λ + (0)) 2 = Λ + (0) (2.77)Λ + (0) = 1 + γ02. (2.78)Per la dimostrazione basta porre Λ + (0) = 1+γ02+ B e dimostrare che dalle equazioni(2.76) e (2.77) segue che B = 0. Quindi, dalle (2.75) e (2.78) si haΛ + (⃗p) =12 m (E + m)(/p + m)1 + γ0229(/p + m) . (2.79)