Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

I coefficienti b (r)⃗pe d (r) ∗⃗p dello sviluppo sono in generale dei numeri complessi (le notazioniqui adottate seguono le convenzioni standard usualmente utilizzate).La formula (2.61) fa riferimento a stati normalizzati in un volume infinito. Lacorrispondente espressione per una normalizzazione in un volume finito si ottienesostituendo∫1(2π) 3/2d 3 p −→ 1 √V∑⃗p. (2.62)Per le proprietà di ortonormalizzazione viste nel paragrafo precedente, si ha che lacondizione di normalizzazione della ψ(x), ossia∫d 3 x ψ † (x) ψ(x) = 1 , (2.63)implica che∑∫r[]d 3 p |b (r)⃗p|2 + |d (r)⃗p |2 = 1 . (2.64)Uno studio dettagliato delle proprietà del pacchetto d’onda (2.61) ne mette in evidenzadue proprietà importanti 2 :1. la presenza simultanea degli stati ad energia positiva e di quelli ad energia negativanello sviluppo (2.61) è indispensabile per realizzare, mediante la descrizione del pacchettod’onda, una buona localizzazione della particella (dimensione lineare del volumedi localizzazione ≪ lunghezza d’onda Compton della particella);2. l’evoluzione temporale del pacchetto d’onda mostra che l’interferenza tra stati adenergia positiva e stati ad energia negativa genera delle oscillazioni rapide che sisovrappongono al moto rettilineo uniforme di una particella libera (Zitterbewegung).2.6 Proiettori su stati ad energia positiva e su statiad energia negativaIn numerose applicazioni che comportano un calcolo spinoriale è utile definire deiproiettori su stati ad energia positiva e su quelli ad energia negativa.Definiamo come proiettore su stati ad energia positiva la matriceΛ + (⃗p) ≡ ∑u (r) (⃗p) u (r) (⃗p) , (2.65)ossia, più esplicitamente,r=1,2(Λ + (⃗p)) αβ≡ ∑r=1,2u (r)α(⃗p) u(r)βIl ruolo di Λ + (⃗p) come proiettore risulta dalle relazioni∑(Λ + (⃗p)) αβu (s)β(⃗p) = ∑u (r)α (⃗p) ∑ βr=1,2ββ(⃗p) . (2.66)u (r) (⃗p) u(s)β(⃗p) = u(s) (⃗p) (2.67)2 Per la dimostrazione si veda, per esempio, J.J. Sakurai: Advanced Quantum Mechanics.α28