Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

∫Per la normalizzazione in un volume infinito si ha∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,+ (x) = |N|2 u (r)† (⃗p) u (s) (p ′ ) d 3 x e i(p−p′ )·x = |N| 2 E m δ rs (2 π) 3 δ 3 (⃗p−⃗p ′ ) ,per cuiN =1(2.54)(2 π) 3/2 √ mE . (2.55)Analoghe normalizzazioni verranno adottate per le soluzioni libere ad energia negativa.Avremo quindiψ p,−(x) (r) = √ 1 √ mV E ei p·x v (r) (⃗p) (2.56)nel caso di normalizzazione in un volume finito eψ (r)p,−(x) =1(2 π) 3/2 √ mE ei p·x v (r) (⃗p) (2.57)nel caso di normalizzazione in un volume infinito.Le funzioni ψ p,+(x) (r) e ψ p,−(x) (r) sono ortogonali, ossia∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,−(x) = 0 . (2.58)Infatti, dalle (2.30b) e (2.38b) si ricava cheu (r)† ( ⃗˜p) = u (r)† (0)v (r)† ( ⃗˜p) = v (r)† (0)/p + m√2 m (E + m),−/p + m√2 m (E + m),(2.59a)(2.59b)dove ˜p µ = (p 0 , ⃗˜p) = (p 0 , −⃗p), e quindi dalla proprietà (2.23) discendono le relazioniu (r)† ( ⃗˜p) v (s) (⃗p) = 0 ,v (r)† ( ⃗˜p) u (s) (⃗p) = 0 .(2.60a)(2.60b)2.5 Pacchetti d’ondaLe soluzioni libere ψ p,+(x) (r) e ψ p,−(x) (r) costituiscono un insieme completo ortonormale equindi la più generale soluzione può essere scritta comeψ(x) = ∑ ∫ []d 3 p b (r)⃗pψ p,+(x) (r) + d (r) ∗ (r)⃗p ψ p,−(x)r1 ∑∫ √ m[] (2.61)=d 3 p b (r)(2π) 3/2 ⃗pu (r) (⃗p) e −ip·x + d (r) ∗⃗p v (r) (⃗p) e ip·x .Er27