Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Per il limite non-relativistico sono utili le relazionidalle quali si ottiene⃗p =m ⃗v √1 − v2c 2= m ⃗v( ( )) v21 + Oc 2, (2.45)E =m ( ( ))√c2v= m c 2 21 + O , (2.46)1 −c 2 v2c 2⃗p 2 c 2(E + m c 2 ) 2 = 1 ( ( ))v 2 v21 + O , (2.47)4 c 2 c 2ϕ (r) † (r)+ (⃗p) ϕ + (⃗p) ≃ 1 v 2 †4 c 2 χ(r) (r)+ (⃗p) χ + (⃗p) . (2.48)Quindi, nel limite non-relativistico, negli spinori ad energia positiva u (r) (⃗p) vi è dominanzadegli spinori a due componenti χ (r)+ (⃗p) rispetto a quelli ϕ (r)+ (⃗p); il fattore di soppressionedegli spinori ϕ (r)+ (⃗p) rispetto a quelli χ (r)+ (⃗p) è di ordine (v/c) 2 . Di qui segue la usualedenominazione di “grandi componenti” per le χ (r)+ (⃗p) e di “piccole componenti” per leϕ (r)+ (⃗p).Per le soluzioni ad energia negativa i ruoli delle χ e ϕ sono scambiati: le componentiχ (r)− (⃗p) vengono chiamate “piccole componenti” e quelle ϕ (r)− (⃗p) vengono chiamate “grandicomponenti”.2.4 Normalizzazione delle soluzioni libereOccupiamoci ora della normalizzazione delle soluzioni libere ad energia positiva ψ (r)p,+(x),che riscriviamo comeψ (r)p,+(x) = N e −i p·x u (r) (⃗p) , (2.49)dove N è un fattore di normalizzazione. Adotteremo le seguenti condizioni dinormalizzazione: ∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,+ (x) = δ rs δ ⃗p, p ⃗′ (2.50)Vnel caso di normalizzazione in un volume V finito e∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,+ (x) = δ rs δ 3 (⃗p − ⃗p ′ ) (2.51)nel caso di normalizzazione in un volume infinito.Per il caso di un volume finito si ha∫∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,+ (x) = |N|2 u (r)† (⃗p) u (s) (p ′ ) δ ⃗p, p ⃗′VVd 3 x = |N| 2 E m V δ rs δ ⃗p, ⃗ p ′ , (2.52)per cuiN = 1 √V√ mE . (2.53)26