Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Esplicitamente si ha⎛ ( ) ⎞√ ⃗σ ·⃗p 1E + mv (1) (⃗p) = ⎜E + m 0( ⎟2 m ⎝ 1 ⎠0) , (2.40)⎛ ( ) ⎞√ ⃗σ ·⃗p 0E + mv (2) (⃗p) = ⎜E + m 1( ⎟2 m ⎝ 0 ⎠1) . (2.41)Valgono inoltre le seguenti relazioni di ortogonalità:u (r) (⃗p) v (s) (⃗p) = 0 ,v (r) (⃗p) u (s) (⃗p) = 0 .(2.42a)(2.42b)Notiamo che le condizioni di normalizzazione per gli spinori sono state scritte intermini di invarianti, per esempio uu, come ha da essere. Osserviamo che prodotti deltipo u † u si trasformano invece come componenti temporali di quadri-vettori. Infatti,utilizzando l’equazione /pu = mu e la sua aggiunta, si hau (r)† (⃗p) u (s) (⃗p) = u (r) (⃗p) γ 0 u (s) (⃗p) = u (r) (⃗p) /p γ0 + γ 0 /p2 mu (s) (⃗p)= u (r) (⃗p) gµ0 p µm u(s) (⃗p) = E m u(r) (⃗p) u (s) (⃗p) = E m δ rs .(2.43)Questa proprietà è in accordo con la richiesta che la probabilità ψ † p,+(x) ψ p,+ (x) d 3 x mantenga,per trasformazione di Lorentz, il valore che la stessa ha nel sistema di riposo dellaparticella. Dal momento che, nella trasformazione, l’elemento di volume subisce la contrazioned 3 x ′ = √ 1 − v 2 /c 2 d 3 x, la densità di probabilità ρ = ψ † p,+(x) ψ p,+ (x) = u † (p) u(p)deve trasformarsi come ρ ′ = ρ/ √ 1 − v 2 /c 2 = ρ E/m, ossia come ottenuto nella (2.43).2.3 Limite non-relativistico (v≪c)Per le soluzioni ad energia positiva, nella rappresentazione di Dirac, si haϕ (r) † (r)+ (⃗p) ϕ + (⃗p) = E + m † (⃗σ ·⃗p) 22 m χ(r) + (0)(E + m) 2 χ(r) + (0) ==⃗p 2†(E + m) 2 χ(r) (r)+ (⃗p) χ + (⃗p)⃗p 2 c 2†(E + m c 2 ) 2 χ(r) (r)+ (⃗p) χ + (⃗p) in unità ordinarie .(2.44)25