Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Esplicitamente si ha⎛ ( ⎞√ 1E + mu (1) (⃗p) = ⎜ 0)( ) ⎟2 m ⎝ ⃗σ ·⃗p 1 ⎠ , (2.32)E + m 0⎛ ( ⎞√ 0E + mu (2) (⃗p) = ⎜ 1)( ) ⎟2 m ⎝ ⃗σ ·⃗p 0 ⎠ . (2.33)E + m 1Per le soluzioni a energia negativa si può seguire lo stesso procedimento. Si haNella rappresentazione di Dirac si haQuindiv (r) (⃗p) = C (−/p + m) v (r) (0) . (2.34)v (r) (⃗p) = C (−/p + m) v (r) (0)[ ( ) ( )11 0 0 ⃗σ= C − E + ·⃗p +0 −11 −⃗σ 0⎛⎞⃗σ ·⃗p= C (E + m) ⎝E + m ϕ(r) − (0)⎠ .ϕ (r)− (0)(v (r) (⃗p) v (s) (⃗p) = |C| 2 (E + m) 2 ϕ (r)− (0) † ⃗σ ·⃗pE + m(= |C| 2 (E + m) 2 ⃗p 2 )(E + m) 2 − 1= − |C| 2 2 m (E + m) δ rs .Se poniamo la condizione di normalizzazionela costante C è data dalla (2.29) e si ottiene quindi( ) ] ( )11 0 0m0 11 ϕ (r)− (0)−ϕ (r)(2.35)) ⎛ ⎞⃗σ ·⃗p− (0) † ⎝E + m ϕ(s) − (0)⎠ϕ (s)− (0)δ rs (2.36)v (r) (⃗p) v (s) (⃗p) = −δ rs , (2.37)v (r) (⃗p) =v (r) (⃗p) = v (r) (0)−/p + m√2 m (E + m)v (r) (0) ,−/p + m√2 m (E + m).(2.38a)(2.38b)Nella rappresentazione di Dirac gli spinori v (r) (⃗p) sono dati da( ) √⎛⎞v (r) χ (r)⃗σ ·⃗p− (⃗p) E + m(⃗p) ≡ϕ (r) = ⎝E + m ϕ(r) − (0)⎠ . (2.39)− (⃗p) 2 mϕ (r)− (0)24