Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

dove C è una opportuna costante di normalizzazione. Nella rappresentazione di Diracu (r) (⃗p) = C (/p + m) u (r) (0)[( ) ( )11 0 0 ⃗σ= CE − ·⃗p +0 −11 −⃗σ 0( ) ( )E + m −⃗σ ·⃗p(r) χ= C+ (0)⃗σ ·⃗p −E + m 0()(E + m) χ (r)+ (0)= C⃗σ ·⃗p χ (r)+ (0)⎛⎞= C (E + m) ⎝χ(r) + (0)⃗σ ·⃗pE + m χ(r)Determiniamo la costante C in modo che⎠ .+ (0)( ) ] (11 0(r) χm0 11+ (0)0)(2.26)u (r) (⃗p) u (s) (⃗p) = δ rs . (2.27)Poichè() ⎛ ⎞u (r) (⃗p) u (s) (⃗p) = |C| 2 (E + m) 2 χ (r)+ (0) † −χ (r) † ⃗σ ·⃗p+ (0) ⎝ χ(s) + (0)⃗σ ·⃗p ⎠E + mE + m χ(s) + (0)= |C| 2 (E + m)(1 2 ⃗p 2 )−(E + m) 2 δ rs (2.28)= |C| 2 2 m (E + m) δ rs ,la condizione di normalizzazione è soddisfatta se prendiamoper cuiC =1√2 m (E + m), (2.29)u (r) (⃗p) =u (r) (⃗p) = u (r) (0)/p + m√2 m (E + m)u (r) (0) ,/p + m√2 m (E + m).(2.30a)(2.30b)Si noti che il legame stabilito dalle equazioni (2.30a) e (2.30b) tra gli spinori u (r) (⃗p) eu (r) (⃗p) e i loro corrispondenti nel sistema di riposo non dipende dalla rappresentazionedelle γ.Nella rappresentazione di Dirac gli spinori u (r) (⃗p) sono dati da( ) √⎛u (r) χ (r)+ (⃗p) E + m(⃗p) ≡ϕ (r) = ⎝+ (⃗p) 2 m23χ(r) + (0)⃗σ ·⃗pE + m χ(r)⎞⎠ . (2.31)+ (0)