Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

nella rappresentazione di Dirac si ottiene l’equazioneQuest’equazione ha due soluzioni indipendenti:( )ϕ (1) 1− (0) =0( ) ( )11 0 χ− (0)= 0 . (2.19)0 0 ϕ − (0)( )(e ϕ (2) 0 0− (0) = , con χ1− (0) = , (2.20)0)ossia⎛ ⎞⎛ ⎞00v (1) (0) = ⎜0⎟⎝1⎠ e v (2) (0) = ⎜0⎟⎝0⎠ . (2.21)01Anche in questo caso l’esistenza di due soluzioni indipendenti è da mettersi in relazionecon le due configurazioni di spin della particella.Si nota inoltre che gli stati u sono ortogonali agli stati v. Dalla derivazione precedentesi può concludere che la dimensione 4 alla base della struttura spinoriale alla Dirac èdovuta al fatto che lo spinore di Dirac descrive proprietà intrinseche di spin 1/2 e statienergetici di duplice segno.2.2 Soluzioni libere in un sistema di riferimentogenericoDeterminiamo la forma degli spinori u(⃗p) e v(⃗p) in un sistema di riferimento generico,deducendoli da quelli nel sistema di riposo precedentemente ricavati.Osserviamo innanzi tutto che vale la seguente identità:(/p + m) (/p − m) = γ µ p µ γ ν p ν − m 2 = g µν p µ p ν − m 2 = p 2 − m 2 . (2.22)Per una particella fisica si ha p 2 = m 2 e quindi dalla (2.22) si ottieneCiò consente di scrivere(/p + m) (/p − m) = 0 (2.23)(/p − m) [ (/p + m) u (r) (0) ] = 0 , con r = 1, 2 . (2.24)Quindi le soluzioni dell’equazione (2.5) possono essere messe nella formau (r) (⃗p) = C (/p + m) u (r) (0) , (2.25)22