Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Scrivendou(0) =( )χ+ (0)ϕ + (0)(2.8)e tenendo conto dell’espressione della γ 0 nella rappresentazione di Dirac,( ) 11 0γ 0 = , (2.9)0 −11si ottiene ( ) ( )0 0 χ+ (0)= 0 . (2.10)0 11 ϕ + (0)Quest’equazione ha due soluzioni indipendenti:( )( )(χ (1) 1+ (0) = e χ (2) 0 0+ (0) = , con ϕ01+ (0) = , (2.11)0)ossia⎛ ⎞⎛ ⎞10u (1) (0) = ⎜0⎟⎝0⎠ e u (2) (0) = ⎜1⎟⎝0⎠ . (2.12)00È naturale interpretare le due soluzioni indipendenti u (r) (0) (r = 1, 2) nel sistema diriposo della particella come gli stati corrispondenti alle due proiezioni di spin 1/2 dellaparticella stessa. Ciò è in completa analogia con la descrizione alla Pauli. La confermadella correttezza di questa interpretazione deriverà dallo studio dell’operatore di spin inteoria di Dirac.Passiamo ora allo studio delle soluzioni libere dell’equazione di Dirac con energianegativa, ossia tali cheScriviamole nel modo seguente:Per sostituzione nella (2.1) si haL’analoga equazione per lo spinore aggiunto èi ∂ ∂t ψ p,−(x) = −|p 0 | ψ p,− (x) . (2.13)ψ p,− (x) = e i p·x v(⃗p) con p 0 > 0 . (2.14)(/p + m) v(⃗p) = 0 . (2.15)v(⃗p) (/p + m) = 0 . (2.16)Se m≠0, nel sistema di riposo della particella, l’equazione (2.15) diventa(γ 0 + 11 ) v(0) = 0 . (2.17)Scrivendov(0) =( )χ− (0), (2.18)ϕ − (0)21