Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Capitolo 2Soluzioni libere dell’equazione diDirac2.1 Soluzioni libere nel sistema di riposo dellaparticellaCerchiamo una soluzione dell’equazione di Dirac(i γ µ ∂ µ − m) ψ(x) = 0 (2.1)che sia anche autofunzione del quadri-impulso p µ , con valore positivo dell’energia (p 0 > 0).Questa soluzione, che indichiamo con ψ p (x), può essere scritta in forma fattorizzata, conun fattore e −i p·x ≡ e −i pµ xµ , che contiene la dipendenza spazio-temporale tipica di un’ondapiana, e un fattore u(⃗p) che descrive le proprietà spinoriali della particellaψ p,+ (x) = e −i p·x u(⃗p) con p 0 > 0 . (2.2)Determiniamo la forma esplicita dello spinore u(⃗p) nella rappresentazione di Dirac.Dall’equazione∂ µ ψ p,+ (x) ≡∂∂x ψ p,+(x) = −i p µ µ ψ p,+ (x) , (2.3)si ottiene(γ µ p µ − m) u(⃗p) = 0 , (2.4)oppure, come anche si scrive, 1 (/p − m) u(⃗p) = 0 . (2.5)Per lo spinore aggiunto si hau(⃗p) (/p − m) = 0 . (2.6)Se m≠0, nel sistema di riposo della particella, dove p µ = (m,⃗0), l’equazione (2.5)diventa(γ 0 − 11 ) u(0) = 0 . (2.7)1 Usiamo la notazione “slash” per indicare la contrazione di un generico quadri-vettore v µ con γ µ ,ossia /v ≡ γ µ v µ .20