Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

1.5.1 Proprietà di trasformazione dello spinore aggiuntoTrasformazioni di Lorentz proprie ed inversione spazialeDalla formulaψ ′ (x ′ ) = S Λ ψ(x) (1.135)si haψ ′ (x ′ ) ≡ ψ ′† (x ′ ) γ 0 = ψ † (x) S † Λ γ0 = ψ(x) γ 0 S † Λ γ0 . (1.136)Utilizzando la relazionesi ottieneγ 0 S † Λ γ0 = S −1Λ , (1.137)ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λ, (1.138)Inversione temporaleIl trasformato di ψ èψ ′ (x ′ ) =(˜B ˜ψ(x)) †γ 0 =(˜B ˜γ0 ˜ψ† (x)) †γ 0 = ˜ψ(x) ˜γ 0 ˜B † γ 0 . (1.139)Dalle proprietà della matrice B si può dedurre che ˜γ 0 ˜B † γ 0 = ˜B −1 , e quindiψ ′ (x ′ ) = ˜ψ(x) ˜B −1 . (1.140)1.5.2 Trasformazioni di forme bilineari per trasformazioni diLorentz proprie e inversioni spazialiConsideriamo le trasformazioni di Lorentz proprie e le inversioni spaziali. Tenendo contodelle (1.71), (1.76) e (1.138) si ha:1. Γ a = 11.Quindi questo bilineare è uno scalare.2. Γ a = γ µ .ψ ′ (x ′ ) ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λ S Λ ψ(x) = ψ(x) ψ(x) . (1.141)ψ ′ (x ′ ) γ µ ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λ γµ S Λ ψ(x) = Λ µ ν ψ(x) γν ψ(x) . (1.142)Quindi l’insieme di questi quattro bilineari costituisce un quadri-vettore polare.3. Γ a = σ µν .ψ ′ (x ′ ) σ µν ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λ σµν S Λ ψ(x) = Λ µ α Λ ν β ψ(x) σ αβ ψ(x) . (1.143)Segue che questi bilineari costituiscono un tensore di rango 2.18