Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

per inversione temporale si ottiene(−i γ 0 ∂ )∂t + i ⃗γ · ⃗∇ − m˜B ˜ψ(x) = 0 . (1.125)Trasponendo la (1.125) si haMoltiplicando a destra per B −1 si ottiene−i ∂ψ∂t−i ∂ψ∂t B ˜γ 0 + i ⃗ ∇ ψ · B ˜⃗γ − m ψ B = 0 . (1.126)(B ˜γ)0 B −1 + i ∇ ⃗ ψ ·(B ˜⃗γ)B −1 − m ψ = 0 . (1.127)Imponendo che questa equazione sia uguale all’equazione di Dirac per ψi ∂ψ∂t γ0 + i ⃗ ∇ ψ · ⃗γ + m ψ = 0 , (1.128)si ottengono le condizioni {Tenendo conto cheB ˜γ 0 B −1 = γ 0 ,B ˜⃗γ B −1 = −⃗γ .(1.129)(γ 0 γ 5) γ 0 ( γ 0 γ 5) −1 = −γ 0 , (1.130)(γ 0 γ 5) ⃗γ ( γ 0 γ 5) −1 = ⃗γ , (1.131)se definiamo una matrice C tale cheC ˜γ µ C −1 = −γ µ , (1.132)si ottiene che le equazioni (1.129) sono soddisfatte dalla matriceB = η T γ 0 γ 5 C , (1.133)dove η T è un fattore di fase arbitrario. Come si vedrà successivamente, la matrice Cinterviene nella legge di trasformazione degli spinori per coniugazione di carica.1.5 Forme bilineari con spinori di DiracVogliamo ora studiare le proprietà di trasformazione di forme bilineari del tipoψ(x) Γ a ψ(x) , con Γ a = 11 , γ µ , σ µν , γ µ γ 5 , γ 5 , (1.134)per trasformazioni di Lorentz.Dobbiamo preliminarmente ricavare le proprietà di trasformazione dello spinoreaggiunto ψ a partire dalle formule di trasformazione dello spinore ψ.17