Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Moltiplicando a sinistra per S −1 , si ottieneP(i S −1P γ0 S P∂∂t − i S−1 PQuindi, per riottenere l’equazione di Dirac (1.117) si deve avereS −1P γ0 S P = γ 0⃗γ S P = −⃗γS −1P})⃗γ S P · ⃗∇ − m ψ(x) = 0 . (1.119)=⇒ S P = η P γ 0 , (1.120)dove η P è una costante moltiplicativa. La condizione di invarianza della densità diprobabilitàψ † (t, ⃗x) ψ(t, ⃗x) = ψ ′† (t, −⃗x) ψ ′ (t, −⃗x) = [ η ∗ P ψ† (t, ⃗x) γ 0] [ η P γ 0 ψ(t, ⃗x) ]= |η P | 2 ψ † (t, ⃗x) ψ(t, ⃗x)(1.121)impone la condizione |η P | 2 = 1, ossia η P = e iφ con φ reale. Il fattore di fase η P dipendedalla natura della particella di spin 1/2 che si sta considerando ed è chiamato paritàintrinseca. Il valore di η P non è misurabile in assoluto, ma le parità relative dei fermionipossono essere misurate sperimentalmente. Convenzionalmente si sceglie η P = +1 perl’elettrone. Notiamo esplicitamente che S P è una matrice unitaria, come richiesto dallacondizione di invarianza della densità di probabilità.Le condizioni (1.120) possono anche essere ottenute dalla formula (1.76), tenendoconto che per inversione spaziale⎛⎞1.4.2 Inversione temporale1 0 0 0Λ = P = ⎜0 −1 0 0⎝0 0 −1 00 0 0 −1⎟⎠ . (1.122)Per inversione temporale x T −→ x ′ = (−x 0 , ⃗x) la legge di trasformazione della funzioned’onda deve contenere l’operazione di coniugazione complessa 8 . Per tenere conto anchedell’inversione dello spin, scriviamo la legge di trasformazione dello spinore nel modoseguente 9 :ψ(x) T −→ ψ ′ (x ′ ) = ˜B ˜ψ(x) , (1.123)dove B è una matrice unitaria, affinchè la densità di probabilità ψ † ψ sia invariante perinversione temporale. Determiniamo B in modo che la teoria sia invariante per inversionetemporale. Dall’equazione di Dirac(i γ 0 ∂ )∂t + i ⃗γ · ⃗∇ − m ψ(x) = 0 (1.124)8 Vedi Landau & Lifshitz, Meccanica Quantistica.9 Notare che la matrice B non può essere determinata mediante la formula (1.76) perchè la (1.123)differisce dall’ espressione (1.71).16