Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Poichè γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ , si hada cui discende cheossiaγ 0 σ † µνγ 0 = − i 2 γ0 [ γ ν † , γ µ† ] γ 0 = − i 2 [γ ν, γ µ ] = σ µν , (1.109)γ 0 S † Λ γ0 = e i 4 ωµν σ µν, (1.110)Esaminiamo separatamente le rotazioni spaziali e i boosts:γ 0 S † Λ γ0 = S −1Λ. (1.111)1. Per una rotazione spaziale di un angolo θ attorno all’asse x k si haPoichè Σ k è hermitiano, si ottieneS Rk (θ) = e i 2 θ Σk . (1.112)S † R k(θ) = e − i 2 θ Σk† = e − i 2 θ Σk = S −1R k(θ) (1.113)Quindi S Rk (θ) è unitaria. Dalla (1.113) e dalla proprietà Σ k γ 0 = γ 0 Σ k segue la (1.111).2. Per un boost lungo l’asse x k si haPoichè α k è hermitiano, si ottieneS Λk (ϕ) = e − 1 2 ϕ αk . (1.114)S † Λ k(ϕ) = e − 1 2 ϕ αk† = e − 1 2 ϕ αk = S Λk (ϕ) (1.115)Quindi S Λk (ϕ) è hermitiano. Dalla (1.115) e dalla proprietà α k γ 0 = −γ 0 α k segue la(1.111).1.4 Trasformazioni discrete1.4.1 Inversione spaziale (parità)Per inversione spaziale x P −→ x ′ = (x 0 , −⃗x) si haψ(x) P −→ ψ ′ (x ′ ) = S P ψ(x) (1.116)e l’equazione di Dirac (i γ 0 ∂ )∂t + i ⃗γ · ⃗∇ − m ψ(x) = 0 (1.117)si trasforma in (i γ 0 ∂ )∂t − i ⃗γ · ⃗∇ − m S P ψ(x) = 0 . (1.118)15