Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

1.3.2 Trasformazione di velocità nella direzione x kConsideriamo prima un boost con velocità v nella direzione x 1 , per il quale si ha⎧x⎪⎨′0 = cosh ϕ x 0 − sinh ϕ x 1 ,{x ′1 = − sinh ϕ x 0 + cosh ϕ x 1 (,)x⎪⎩′2 = x 2 con cosh ϕ = γ ≡ 1 − v2 −1/2 ,(1.101),sinh ϕ = γ v .x ′3 = x 3 ,Per un boost infinitesimo nella direzione x 1 si ha⎛⎞ ⎛⎞cosh ϕ − sinh ϕ 0 0 1 −ϕ 0 0(Λ 1 ) µ ν(ϕ) = ⎜− sinh ϕ cosh ϕ 0 0⎟⎝ 0 0 1 0⎠ = ⎜−ϕ 1 0 0⎟⎝ 0 0 1 0⎠ + O(ϕ2 )0 0 0 1 0 0 0 1⎛⎞0 −1 0 0= g ν µ + ϕ ⎜−1 0 0 0⎟⎝ 0 0 0 0⎠ + O(ϕ2 ) = g ν µ + ϕ (λ 1) µ ν + O(ϕ2 ) ,0 0 0 0(1.102)dove⎛⎞(λ 1 ) µ ν = d(Λ 1) µ ν (ϕ)0 −1 0 0dϕ ∣ = ⎜−1 0 0 0⎟⎝ϕ=00 0 0 0⎠ (1.103)0 0 0 0è il generatore dei boosts infinitesimi lungo l’asse x 1 . Poichè le uniche componenti nonnulle di (λ 1 ) µ ν sono (λ 1) 0 1 = −1 e (λ 1) 1 0 = −1, ossia (λ 1) 01 = −1 e (λ 1 ) 10 = +1, si ha(λ 1 ) µν σ µν = −σ 01 + σ 10 = −2 σ 01 , (1.104)ossia ω µν σ µν = −2ϕσ 01 . Perciò, per un boost finito lungo l’asse x 1 si haS Λ1 (ϕ) = e i 2 ϕ σ01 . (1.105)Tenendo conto cheσ 0k ≡ i 2[γ 0 , γ k] = i γ 0 γ k = i α k , (1.106)per un boost finito lungo un generico asse x k si ha( ϕ) ( ϕ)S Λk (ϕ) = e − 1 2 ϕ αk = 11 cosh − α k sinh2 2. (1.107)1.3.3 Matrice coniugata hermitiana di S ΛConsideriamo la matrice coniugata hermitiana di S Λ per una trasformazione di Lorentzpropria:S † Λ = e i 4 ωµν σ † µν. (1.108)14