Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

dove⎛⎞(r 1 ) µ ν = d(R 1) µ ν (θ)0 0 0 0dθ ∣ = ⎜0 0 0 0⎟⎝θ=00 0 0 1⎠ (1.91)0 0 −1 0è il generatore delle rotazioni infinitesime attorno all’asse x 1 . Poichè le uniche componentinon nulle di (r 1 ) µ ν sono (r 1 ) 2 3 = +1 e (r 1 ) 3 2 = −1, ossia (r 1 ) 23 = −1 e (r 1 ) 32 = +1, si ha(r 1 ) µν σ µν = −σ 23 + σ 32 = −2 σ 23 , (1.92)ossia ω µν σ µν = −2θσ 23 . Perciò, per una rotazione finita di un angolo θ attorno all’assex 1 si haS R1 (θ) = e i 2 θ σ23 . (1.93)Introduciamo le matrici Σ k definite da (ɛ ijk è un tensore completamenteantisimmetrico con ɛ 123 = +1) 7σ ij = ɛ ijk Σ k ⇐⇒ Σ k = 1 2 ɛkij σ ij (1.94)Ne segue che σ 23 = Σ 1 e la (1.93) può essere scritta comeS R1 (θ) = e i 2 θ Σ1 . (1.95)Per una rotazione finita di un angolo θ attorno ad un generico asse x k si haS Rk (θ) = e i 2 θ Σk = 11 cos θ 2 + i Σk sin θ 2 . (1.96)Lo sviluppo dell’esponenziale si ottiene nel seguente modo:( ∞∑ ie i 2 θ Σk =θ Σk) n ( ∞∑ i2=θ Σk) 2n ( ∞∑ i2+θ Σk) 2n+12n!(2n)! (2n + 1)!n=0n=0n=0( ∞∑ 1= 11 (−1) n θ) 2n∞(∑ 12+ i Σ k (−1) n θ) 2n+12 (1.97)(2n)!(2n + 1)!n=0n=0= 11 cos θ 2 + i Σk sin θ 2 ,poichèNotare chee quindi S Rk( ) Σk 2n ( )= 11 , Σk 2n+1= Σ k , i 2n = (−1) n , (1.98)∞∑∞cos x = (−1) n x2n(2n)! , sin x = ∑(−1) n x 2n+1(2n + 1)! . (1.99)n=0n=0S Rk (θ + 2π) = −S Rk (θ) , (1.100)è una funzione a due valori delle rotazioni.7 Notare che le matrici Σ k possono anche essere scritte come Σ k = −γ 0 γ k γ 513