Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

nella (1.76), con la Λ µ ν data dalla (1.78):( )11 − a ω αβ O ( ) ( )αβ γµ11 + a ω αβ O αβ = gµν + ω µ ν γ ν . (1.82)Al prim’ordine in ω µ ν si ottieneDobbiamo quindi avereγ µ + a ω αβ [γ µ , O αβ ] = γ µ + ω µ ν γ ν . (1.83)a ω αβ [γ µ , O αβ ] = ω µ ν γ ν . (1.84)Questa relazione è soddisfatta da O αβ = σ αβ e a = −i/4. Per dimostrarlo, calcoliamo ilcommutatore [γ µ , σ αβ ] tenendo conto cheγ α γ β = g αβ 11 − iσ αβ ⇒ σ αβ = i ( γ α γ β − g αβ 11 ) , (1.85)e che [A, BC] = {A, B} C − B {A, C}; per cui[γ µ , σ αβ ] = i [γ µ , γ α γ β − g αβ 11] = i [γ µ , γ α γ β ] = i {γ µ , γ α } γ β − i γ α {γ µ , γ β }= 2 i ( g α µ γ β − g µ β γ ) (1.86)α ,e si ha− i 4 ωαβ [γ µ , σ αβ ] = ω µ ν γ ν . (1.87)Abbiamo quindi trovato che per trasformazioni di Lorentz proprie infinitesime lamatrice di trasformazione spinoriale èPer trasformazioni di Lorentz proprie finite si haS Λ = 11 − i 4 ωµν σ µν . (1.88)S Λ = e − i 4 ωµν σ µν. (1.89)Esaminiamo ora separatamente le rotazioni spaziali e le trasformazioni di velocità.1.3.1 Rotazione attorno all’asse x kConsideriamo prima una rotazione infinitesima di un angolo θ attorno all’asse x 1 . Lamatrice di rotazione è⎛⎞ ⎛⎞1 0 0 0 1 0 0 0(R 1 ) µ ν (θ) = ⎜0 1 0 0⎟⎝0 0 cos θ sin θ⎠ = ⎜0 1 0 0⎟⎝0 0 1 θ⎠ + O(θ2 )0 0 − sin θ cos θ 0 0 −θ 1⎛⎞(1.90)0 0 0 0= g ν µ + θ ⎜0 0 0 0⎟⎝0 0 0 1⎠ + O(θ2 ) = g ν µ + θ (r 1 ) µ ν + O(θ 2 ) ,0 0 −1 012