Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Assumendo che le funzioni d’onda ψ(x) e ψ ′ (x ′ ) siano connesse da una trasformazionelineare del tipo 6 ψ ′ (x ′ ) = S Λ ψ(x) , (1.71)l’equazione (1.69b) può essere scritta come(iγ µ Λ νµ ∂ ν − m ) S Λ ψ(x) = 0 . (1.72)Per ricondurre questa equazione alla (1.69a), la moltiplichiamo a sinistra per S −1Λ :Si ha quindi invarianza seMoltiplicando per Λ ρ νsi ottiene(i S−1Λγµ S Λ Λ νµ ∂ ν − m ) ψ(x) = 0 . (1.73)S −1Λe tenendo conto cheγµ S Λ Λ νµ = γν . (1.74)Λ ρ ν Λ νµ = gρ µ , (1.75)S −1Λ γµ S Λ = Λ µ ν γν . (1.76)Data una trasformazione di Lorentz Λ, esiste una matrice S Λ che soddisfa la (1.76).Infatti, le matrici γ ′µ = Λ µ νγ ν soddisfano alle stesse relazioni di anticommutazione dellematrici γ µ :γ ′µ γ ′ν + γ ′ν γ ′µ = Λ µ ρ γρ Λ ν σ γσ + Λ ν σ γσ Λ µ ρ γρ= Λ µ ρ Λν σ (γρ γ σ + γ σ γ ρ )= 2 g ρσ Λ µ ρ Λν σ 11 = 2 gµν 11 .(1.77)Perciò esiste una relazione di equivalenza (1.76) che connette le matrici γ µ e le matriciγ ′µ = Λ µ νγ ν .Per trovare l’espressione di S Λ per trasformazioni di Lorentz proprie (trasformazioniconnesse con la trasformazione identica: rotazioni spaziali e trasformazioni di velocità(boosts)), consideriamo una trasformazione infinitesima,Dalla proprietà (1.75) si haPoniamoΛ µ ν = g µ ν + ω µ ν , con |ω µ ν| ≪ 1 . (1.78)ω µ ν = −ω µν . (1.79)S Λ = 11 + a ω µν O µν , (1.80)dove O µν deve avere la struttura di una matrice 4 × 4. Per determinare la forma esplicitadi O µν e il coefficiente a, sostituiamo la (1.80) e la sua inversa,S −1Λ = 11 − a ωµν O µν , (1.81)6 Questa proprietà si applica a trasformazioni di Lorentz proprie e all’inversione spaziale; non si applicainvece all’inversione temporale (vedi la Sezione 1.4.2).11