Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

e la matrice β è semplicemente una notazione alternativa per la matrice γ 0 (β = γ 0 ).Dalle proprietà delle matrici γ si vede che le matrici β e α k sono hermitianeβ † = β ,(αk ) †= α k , (1.65)per cui l’hamiltoniana di Dirac (1.63) è hermitiana. Le matrici β e α k soddisfano alleseguenti proprietà:α i α j + α j α i = 2 δ ij 11 ,α i β + β α i = 0 ,β 2 = 11 .(1.66a)(1.66b)(1.66c)1.2.5 Rappresentazione di Dirac delle matrici γSi chiama rappresentazione di Dirac quella rappresentazione delle matrici γ in cui γ 0 è diagonale.La forma delle altre matrici γ segue dalle proprietà generali di anticommutazione.Si ha quindiγ 0 =( )11 00 −11( )0 σ, γ k k=−σ k , γ 5 =0( )0 −11, (1.67a)−11 0β =( ) 11 0, α k =0 −11( ) 0 σkσ k 0. (1.67b)Le matrici σ k sono le matrici di Pauli( )0 1σ 1 = , σ 2 =1 0( )( )0 −i1 0, σ 3 = . (1.68)i 00 −1Questa rappresentazione è utile per discutere il limite non-relativistico dell’equazionedi Dirac. Per altre rappresentazioni si veda l’Appendice D.1.3 Covarianza dell’equazione di DiracConsideriamo due sistemi di coordinate inerziali x e x ′ = Λx, nei quali l’equazione diDirac si scrive, rispettivamente,(i γ µ ∂ µ − m) ψ(x) = 0 , (1.69a)(i γ µ ∂ ′ µ − m) ψ ′ (x ′ ) = 0 . (1.69b)Le coordinate e i gradienti nei due sistemi di riferimento sono connessi da unatrasformazione di Lorentz Λ (vedi l’Appendice B):x ′µ = Λ µ ν xν , x µ = Λ µν x′ν , (1.70a)∂ ′ µ = Λ νµ ∂ ν , ∂ µ = Λ ν µ ∂′ ν . (1.70b)10