Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

È evidente che in un cambiamento di rappresentazione tutti i prodotti di matrici γ sitrasformano tramite la (1.53). In particolare le matrici Γ a :Γ ′a = S Γ a S −1 . (1.55)Se si richiede che nelle due rappresentazioni valgano anche le relazioni (vedi la (1.32))γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 e γ ′ µ† = γ ′0 γ ′µ γ ′0 , (1.56)allora la matrice S di trasformazione è unitaria (si veda l’Appendice D). Questa proprietàgarantisce l’invarianza delle forme bilineari ψΓ a ψ per le trasformazioni di equivalenza(1.53):ψ ′ Γ ′a ψ ′ = ψ Γ a ψ . (1.57)Per dimostrare questa relazione è necessario determinare la trasformazione delle funzionid’onda per cambiamento di rappresentazione. Consideriamo l’equazione di Dirac nellarappresentazione γ ′µ :(iγ ′µ ∂ µ − m ) ψ ′ = 0 . (1.58)Utilizzando la (1.53) e moltiplicando a sinistra per S −1 , si ottiene(iγ µ ∂ µ − m) S −1 ψ ′ = 0 . (1.59)Affinchè questa equazione sia equivalente all’equazione di Dirac nella rappresentazione γ µ ,data nell’equazione (1.20), le funzioni d’onda ψ e ψ ′ devono essere legate dalla relazioneLa trasformazione degli spinori aggiunti è data daψ ′ = S ψ . (1.60)ψ ′ = ψ ′† γ ′0 = ψ † S † S γ 0 S −1 = ψ S −1 . (1.61)La relazione di invarianza (1.57) segue immediatamente dalle (1.55), (1.60) e (1.61).1.2.4 Equazione di Dirac in versione hamiltonianaL’equazione di Dirac può essere scritta nella forma hamiltonianai ∂ψ∂t = H ψ (1.62)dove 5 H = −i ⃗α · ⃗∇ + β m . (1.63)Le matrici α k sono date da5 Ricordiamo cheα k = γ 0 γ k (1.64)∇ k ≡ ∂ k ≡∂∂x k .9